6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
课程标准1.掌握两数乘向量的坐标运算法则．2．理解用坐标表示两向量共线的条件．
新知初探·课前预习题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
教 材 要 点要点一 平面向量数乘运算的坐标表示要点二 平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.如果用坐标表示，向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0.符号表示若a＝(x，y)，则λa＝________文字表示实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的________．(λx，λy)相应坐标
助 学 批 注批注 向量共线的坐标形式极易写错，如写成x1y1－x2y2＝0或x1x2－y1y2＝0都是不对的，因此要理解并熟记这一公式，可简记为：纵横交错积相减．
夯实双基1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a∥b，则＝.( )(2)若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且x1y1－x2y2＝0，则a∥b.( )(3)若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且x1y2－x2y1＝0，则a∥b.( )(4)已知A(－6，10)，B(0，2)，则线段AB的中点坐标为(－3，6)．( ) ××√√
2．已知向量a＝(2，4)，b＝(－1，1)，则2a－b＝( )A．(5，7) B．(5，9)C. (3，7) D．(3，9)答案：A解析：2a－b＝2(2，4)－(－1，1)＝(4，8)－(－1，1)＝(5，7)．
3．已知a＝(－6，2)，b＝(m，－3)，且a∥b，则m＝( )A．－9 B．9C. 3 D．－3答案：B解析：因为a＝(－6，2)，b＝(m，－3)，若a∥b，则－6×(－3)－2m＝0，解得m＝9.
4．已知A(1，2)，B(4，5)．若＝2，则点P的坐标为________． (3，4)解析：设P(x，y)，所以＝(x－1，y－2)，＝(4－x，5－y)，又因为＝2，所以(x－1，y－2)＝2(4－x，5－y)，即解得
题型探究·课堂解透
题型 1 平面向量数乘运算的坐标表示例1 已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b.(1)求3a＋b－3c；(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n. 解析：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，∴解得∴实数m的值为－1，n的值为－1.
题后师说平面向量数乘坐标运算的策略
巩固训练1 (1)已知向量a＝(1，2)，2a＋b＝(3，2)，则b＝( )A．(1，－2) B．(1，2)C．(5，6) D．(2，0)答案：A解析：b＝2a＋b－2a＝(3，2)－(2，4)＝(1，－2)．故选A.
(2)已知向量＝(2，4)，＝(0，2)，则＝( )A．(－2，－2) B．(2，2)C．(1，1) D．(－1，－1) 答案：D解析：＝)＝(－2，－2)＝(－1，－1)．故选D.
题型 2 向量共线的判定例2 (1)(多选)[2022·山东日照高一期末]下列各组向量中，可以作为基底的是( )A．e1＝(0，0)，e2＝(1，－2)B．e1＝(0，2)，e2＝(，0)C．e1＝(3，5)，e2＝(5，3)D．e1＝(1，3)，e2＝(－2，－6) 答案：BC
解析：∵0×(－2)＝0×1，∴e1与e2共线，∴A错误；∵0×0≠2×，∴e1与e2不共线，∴B正确；∵3×3≠5×5，∴e1与e2不共线，∴C正确；∵1×(－6)＝3×(－2)，∴e1与e2共线，∴D错误．故选BC.
(2)已知A(2，1)，B(0，4)，C(1，3)，D(5，－3)，判断与是否共线，如果共线，它们的方向相同还是相反？ 解析：∵＝(0，4)－(2，1)＝(－2，3)，＝(5，－3)－(1，3)＝(4，－6)，(－2)×(－6)－3×4＝0，∴共线．又∵＝－2，∴方向相反．综上，与共线且方向相反．
题后师说向量共线的判定应充分利用向量共线定理或向量共线的坐标表示进行判断，特别是利用向量共线的坐标表示进行判断时，要注意坐标之间的搭配．
巩固训练2 已知两点A(2，－1)，B(3，1)，则与平行且方向相反的向量a可以是( )A．(1，－2) B．(9，3)C．(－2，4) D．(－4，－8) 答案：D解析：由题意，得＝(1，2)，所以a＝λ＝(λ，2λ)(其中λ＜0)．符合条件的只有D项．故选D.
题型 3 利用向量共线的坐标表示求参数例3 [2022·湖北高一期中]已知向量a＝(2，1)，b＝(3，2)．(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线；(2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A、B、C三点共线，求实数m的值． 解析：(1)ka－b＝(2k－3，k－2)，a＋2b＝(8，5)，由于ka－b与a＋2b共线，所以(2k－3)×5＝(k－2)×8，则k＝－.(2)由于A，B，C三点共线，所以存在λ∈R，使＝λ，即2a＋3b＝λa＋mλb，所以.
题后师说利用向量共线的坐标表示求参数的策略
巩固训练3 (1)[2022·河北张家口高一期末]已知向量a＝(t，2－t)，b＝(1，t)，若a∥b，a≠b，则t＝( )A．2 B．1C．－1 D．－2答案：D解析：因为a＝(t，2－t)，b＝(1，t)，且a∥b，所以t2＝2－t，解得t＝1或t＝－2.当t＝1时，a＝(1，1)，b＝(1，1)，有a＝b舍去；当t＝－2时，a＝(－2，4)，b＝(1，－2)，有a≠b.故选D.
(2)[2022·广东广州高一期末]已知＝(4，－4)，＝(－3，2)，＝(－1，m)，若A、C、D三点共线，则m＝_____
2023-2024学年人教A版高中数学必修第二册 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示 课件
