目录CONTENTS01读教材·知识梳理03拓视野·思维进阶02研题型·典例精析扣课标·素养提升04
知识点一 函数的最值点与极值点的关系1．如果函数y＝f(x)在定义域内的每一点都可导，且函数存在最值，则函数的最值点一定是某个 ．2．如果函数y＝f(x)的定义域为[a，b]且存在最值，函数y＝f(x)在(a，b)内可导，那么函数的最值点要么是区间端点a或b，要么是 ．极值点极值点
在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，想一想，在[a，b]上一定存在最值和极值吗？在区间(a，b)上呢？提示：在区间[a，b]上一定有最值，但不一定有极值．如果函数f(x)在[a，b]上是单调的，此时f(x)在[a，b]上无极值；如果f(x)在[a，b]上不是单调函数，则f(x)在[a，b]上有极值．当f(x)在(a，b)上为单调函数时，它既没有最值也没有极值．
知识点二 函数极值与最值之间的关系1．函数的极值是函数在某一点附近的局部概念，函数的最大值和最小值是一个整体性概念．2．函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较 附近的函数值得出的，函数的极值可以有 ，但最值只能有一个．3．极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得．有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值不在端点处取得时必定是极值．极值点多个
1．函数f(x)＝2x＋sin x在区间[0，π]上的 ( )A．最小值为0，最大值为π＋1B．最小值为0，最大值为2πC．最小值为π＋1，最大值为2πD．最小值为0，最大值为2解析：f′(x)＝2＋cos x>0，所以f(x)在区间[0，π]上单调递增，因此f(x)的最小值为f(0)＝0，最大值为f(π)＝2π.B
2．函数f(x)＝3x＋sin x在x∈[0，π]上的最小值为________．解析：由题意得f′(x)＝3x ln 3＋cos x，当x∈[0，π]时，f′(x)＞0，所以f(x)在x∈[0，π]上单调递增，所以f(x)在[0，π]上的最小值为f(0)＝1.3．已知f(x)＝－x2＋mx＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f(x)的极大值，求m的取值范围．1
1
|通性通法|求函数最值的基本思路(1)从极值点和端点处找最值：求函数的最值需先确定函数的极值，如果只是求最值，那么就不需要讨论各极值是极大值还是极小值，只需将各极值和端点的函数值进行比较即可求出最大值和最小值；(2)单调区间取端点：当图象连续不断的函数f(x)在[a，b]上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得．
B
题型二 含参数的最值问题【例2】 已知函数f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.718 28…为自然对数的底数．设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0，1]上的最小值．解 因为f(x)＝ex－ax2－bx－1，所以g(x)＝f′(x)＝ex－2ax－b，又g′(x)＝ex－2a，因为x∈[0，1]，1≤ex≤e，
当ln (2a)<x<1时，g′(x)＝ex－2a>0，所以函数g(x)在区间[0，ln (2a)]上单调递减，在区间[ln (2a)，1]上单调递增，g(x)min＝g(ln (2a))＝2a－2a ln (2a)－b.
(变条件)若a＝1，b＝－2，求函数g(x)在区间[0，1]上的最小值．解：因为a＝1，b＝－2，g(x)＝f′(x)＝ex－2x＋2，又g′(x)＝ex－2，令g′(x)＝0，因为x∈[0，1]，解得x＝ln 2，已知当x＝ln 2时，函数取极小值，也是最小值，故g(x)min＝g(ln 2)＝2－2ln 2＋2＝4－2ln 2.
|通性通法|1．含参数的函数最值问题的两类情况(1)能根据条件确定出参数，从而化为不含参数函数的最值问题；(2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值．2．已知函数最值求参数值(范围)的思路已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，用参数表示出最值后求参数的值或范围．
A
1．(变条件)若将本例中条件“若对x∈[－1，2]，不等式f(x)<c2恒成立”改为“若存在x∈[－1，2]，不等式f(x)<c2成立”，结果如何？
2．(变条件)若本例中的条件“x∈[－1，2]，不等式f(x)＜c2恒成立”换为“x∈[－2，0]，不等式f(x)＞－c恒成立”，求c的取值范围．且f(0)＝c，f(－2)＝－6＋c，所以f(x)min＝f(－2)＝－6＋c，所以－6＋c＞－c，所以c＞3.故c的取值范围为(3，＋∞).
|通性通法|恒成立问题向最值转化的方法(1)要使不等式f(x)<h在区间[m，n]上恒成立，可先在区间[m，n]上求出函数f(x)的最大值f(x)max，只要h>f(x)max，则上面的不等式恒成立；(2)要使不等式f(x)>h在区间[m，n]上恒成立，可先在区间[m，n]上求出函数f(x)的最小值f(x)min，只要f(x)min>h，则不等式f(x)>h恒成立．
设a∈R，已知函数f(x)＝ax3－3x2.(1)当a＝1时，求函数f(x)的单调区间；解：当a＝1时，f(x)＝x3－3x2，则f′(x)＝3x2－6x.由f′(x)>0，得x<0或x>2，由f′(x)<0，得0<x<2，所以f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)；单调递减区间为(0，2).(2)若对任意的x∈[1，3]，都有f(x)
2023-2024学年人教B版高中数学选择性必修第三册 6.2.2 第二课时 函数最值的求法 课件
