第七章 随机变量及其分布7.5 正态分布
教材认知 掌握必备知识合作探究 形成关键能力
素养导引1.了解正态密度函数、正态密度曲线与标准正态分布的概念.(数学抽象)2.理解正态曲线的性质,会求正态分布在给定区间上的概率.(数学运算)3.能利用正态分布的概率模型解决简单的实际问题.(数学建模)
一、连续型随机变量大量问题中的随机变量不是离散型的,它们的取值往往充满某个区间甚至__________,但取一点的概率为___,我们称这类随机变量为连续型随机变量.二、正态曲线1.定义:若f(x)=,x∈R,其中μ∈R,σ>0为参数,我们称f(x)为正态密度函数,称它的图象为正态密度曲线,简称__________. 教材认知 掌握必备知识整个实轴正态曲线0
2.特点:(1)曲线位于x轴上方,与x轴不相交;(2)曲线与x轴之间的区域的面积为1;(3)曲线是单峰的,它关于直线_____对称;(4)曲线在_____处达到峰值;(5)当|x|无限增大时,曲线无限接近_____. x=μx=μx轴
3.参数μ和σ对正态曲线形状的影响(1)当σ一定时,曲线的位置由μ确定.曲线随着μ的变化沿_____平移,参数μ反映了正态分布的集中位置.(2)当μ一定时,曲线的形状由σ确定.σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越______;σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越______.σ反映了随机变量的分布相对于均值μ的离散程度.x轴集中分散
三、正态分布1.定义:若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)=,则称随机变量X服从正态分布,记为X~N(μ,σ2).特别地,当μ=0,σ=1时,称随机变量X服从______________.2.均值与方差:若X~N(μ,σ2),则E(X)=___,D(X)=___.3.(1)几何意义若X~N(μ,σ2),则如图所示,X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积,而P(a≤X≤b)为区域B的面积. 标准正态分布μσ2
(2)三个常用的概率值假设X~N(μ,σ2),可以证明:对给定的k∈N*,P(μ-kσ≤X≤μ+kσ)是一个只与k有关的定值.特别地,P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈________, P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈________, P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈________. (3)3σ原则在实际应用中,通常认为服从于正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取[μ-3σ,μ+3σ]中的值,这在统计学中称为3σ原则.0.682 70.954 50.997 3
[诊断]1.辨析记忆(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)正态曲线是一条钟形曲线. ( )(2)函数φμ,σ(x)中参数μ,σ的意义分别是样本的均值与方差. ( )提示:在实际问题中,函数(x)中参数μ,σ可以用样本的均值与标准差估计.(3)正态曲线是单峰的,其与x轴围成的面积是随参数μ,σ的变化而变化的. ( )提示:正态曲线与x轴围成的面积始终是1.(4)正态曲线可以关于y轴对称. ( )提示:当μ=0时,正态曲线关于y轴对称. √××√
2.(教材改编题)已知随机变量ξ服从正态分布N(0,σ2),若P(ξ>2)=0.023,则P(-2≤ξ≤2)= ( )A.0.977 B.0.954C.0.5 D.0.023【解析】选B.随机变量ξ服从正态分布N(0,σ2),若P(ξ>2)=0.023,则依据正态曲线的性质有P(-2≤ξ≤2)=1-2P(ξ>2)=1-2×0.023=0.954.
3.(教材改编题)(多选题)阳山水蜜桃迄今已有近七十年的栽培历史,产于中国著名桃乡江苏无锡阳山镇.水蜜桃果形大、色泽美,皮韧易剥、香气浓郁,汁多味甜,入口即化,有“水做的骨肉”美誉,阳山水蜜桃早桃品种5月底开始上市,7月15日前后,甜度最高的湖景桃也将大量上市.已知甲、乙两个品种的阳山水蜜桃的质量(单位:千克)分别服从正态分布N1(μ1,),N2(μ2,),其正态分布的密度曲线如图所示,则下列说法正确的是 ( )A.乙品种水蜜桃的平均质量μ2=0.8B.甲品种水蜜桃的质量比乙品种水蜜桃的质量更集中于平均值左右C.甲品种水蜜桃的平均质量比乙品种水蜜桃的平均质量小D.乙品种水蜜桃的质量服从的正态分布的参数σ2=1.99
【解析】选ABC.μ2=0.8,A正确;甲图象相对乙更瘦高,B正确;μ1=0.4<μ2=0.8,C正确;乙图象的最高点为1.99,故对称轴取值为=1.99,所以σ2≠1.99,D错误.
合作探究 形成关键能力
本课结束
2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第三册 第七章 7.5 正态分布 课件
