2023-2024学年北师大版必修第一册 2.1 第2课时　充要条件 (课件)

p⇒q q⇒p 充要条件 p⇔q 基础初探教材整理　充要条件1．充要条件如果 ，且 ，那么称p是q的充分必要条件，简称 ，记作 . 2．常见的四种条件(1)充分不必要条件，即 .(2)必要不充分条件，即 .(3)充要条件，即 .(4)既不充分也不必要条件，即 .p⇒q，q⇒p p⇒q而qp pq而q⇒p pq，qp  1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当p是q的充要条件时，也可以说成q成立当且仅当p成立．(　　)(2)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题．(　　)预习自测 (3)若pq和qp有一个成立，则p一定不是q的充要条件．(　　) 预习自测【答案】　(1)√　(2)√　(3)√ 合作探究类型1 充要条件的判断例1 (1)“b2－4ac＜0”是“一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R”的(　　)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】　由－1＜2x－3＜1，得1＜x＜2，即x∈(1,2)．由x(x－3)＜0，得0＜x＜3，即x∈(0,3)．∵当1＜x＜2时，能推出0＜x＜3；但是0＜x＜3不能推出1＜x＜2.∴p是q的充分不必要条件．【答案】　A 名师指导对充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件的判断要搞清楚它们的定义实质；①若p⇒q，但qp，则p是q的充分不必要条件；②若q⇒p，但pq，则p是q的必要不充分条件；③若p⇒q，且q⇒p，则p是q的充要条件；④若pq，且qp，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．  类型2 充要条件的证明例2 求证：“f(x)＝sin(x＋φ)是奇函数”的充要条件是“f(0)＝0”． 【解】　必要性：由f(x)＝sin(x＋φ)是奇函数，得f(－x)＝－f(x)，即sin(－x＋φ)＝－sin(x＋φ)，∴sin(－x)cos φ＋cos(－x)sin φ＝－sin xcos φ－cos xsin φ，整理得2cos xsin φ＝0，由于上式对任意x∈R都成立，所以sin φ＝0，即f(0)＝sin φ＝0. 充分性：由f(0)＝0，得sin φ＝0.∴f(－x)＝sin(－x＋φ)＝sin(－x)cos φ＋cos(－x)·sin φ＝－sin xcos φ，f(x)＝sin(x＋φ)＝sin xcos φ＋cos xsin φ＝sin xcos φ，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)＝sin(x＋φ)是奇函数．综上，“f(x)＝sin(x＋φ)是奇函数”的充要条件是“f(0)＝0”． 名师指导1．首先分清条件和结论．本例中条件是“f(0)＝0”，结论是“f(x)＝sin(x＋φ)是奇函数”．“p是q的……条件”，p是条件，q是结论；“p成立的……是q”，q是条件，p是结论．2．充要条件的证明分两步证明：证明充分性时把条件当已知去推证结论的正确性；证明必要性时，结论当已知去推证条件的正确性． 跟踪训练1．求证：“f(x)＝sin(x＋φ)是偶函数”的充要条件是“|f(0)|＝1”．【证明】　必要性：由f(x)＝sin(x＋φ)是偶函数得f(－x)＝f(x)，即sin(－x＋φ)＝sin(x＋φ)，∴sin(－x)cos φ＋cos(－x)sin φ＝sin xcos φ＋cos xsin φ整理得2sin xcos φ＝0. 跟踪训练由于上式对任意x∈R都成立，所以cos φ＝0，即|f(0)|＝|sin φ|＝1.充分性：由|f(0)|＝1，得|sin φ|＝1，∴cos φ＝0. ∵f(－x)＝sin(－x＋φ)＝sin(－x)cos φ＋cos (－x)·sin φ＝cos xsin φ，f(x)＝sin(x＋φ)＝sin xcos φ＋cos xsin φ＝cos xsin φ，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝sin(x＋φ)是偶函数，综上，“f(x)＝sin(x＋φ)是偶函数”的充要条件是“|f(0)|＝1”． 探究点 充要条件探究1　充要条件具有传递性吗？【提示】　若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件． 探究3　在使用充分条件和必要条件时，要注意什么？【提示】　在求解与充分条件、必要条件有关的问题时，要分清条件p和结论q.只有分清条件和结论才能正确判断p与q的关系，才能利用p与q的关系解题．在由条件p与结论q之间的关系求字母的取值范围时，将p与q之间的关系转化为集合之间的关系，是求解这一类问题的常用方法． 探究4　如何求一个问题的充要条件？【提示】　求一个问题的充要条件，就是利用等价转化的思想，使得转化前后的两个命题所对应的解集是两个相同的集合．这就要求我们转化的时候思维要缜密． 例3 已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q(p≠0，p≠1)，求数列{an}是等比数列的充要条件． 名师指导本题以等比数列的判定为主线，根据数列前n项和通项之间的递推关系，严格利用等比数列定义判定．证明充要条件的命题，体现了思维的严谨性． 跟踪训练2．求ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件． 跟踪训练 1．若p：|x|＝x，q：x2＋x≥0.则p是q的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件课堂检测