2023-2024学年人教A版高中数学必修第二册 8.5.3　第一课时　平面与平面平行的判定（学案）

8.5.3 　平面与平面平行 第一课时　平面与平面平行的判定 新课程标准解读 核心素养 1. 借助长方体，通过直观感知，归纳出平面与平面平行的判定定理，并加以证明 逻辑推理 2. 会应用平面与平面平行的判定定理证明平面与平面平行 直观想象 上海世界博览会的中国国家馆被永久保留 . 中国国家馆表达了 “ 东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓 ” 的中国文化的精神与气质，展馆共分三层 . 问题 　展馆的每两层所在的平面有什么位置关系？你是依据什么判断的？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   知识点 　 平面与平面平行的判定定理 文字 语言 如果一个平面内的 　两条相交直线　 与另一个平面平行，那么这两个平面平行 符号 语言 a ⊂ β ， b ⊂ β ， a ∩ b ＝ P ， a ∥ α ， b ∥ α ⇒ β ∥ α 图形 语言 提醒 　 判定平面 α 与平面 β 平行时 ， 必须具备两个条件 ： ① 平面 β 内两条相交直线 a ， b ，即 a ⊂ β ， b ⊂ β ， a ∩ b ＝ P ； ② 两条相交直线 a ， b 都与平面 α 平行，即 a ∥ α ， b ∥ α. 1. 在正方体中，相互平行的面不会是（　　） A. 前后相对侧面　　　 B. 上下相对底面 C. 左右相对侧面 D. 相邻的侧面 解析： D 　 由正方体的模型知前后面、上下面、左右面都相互平行，故选 D. 2. 已知 a ， b ， c ， d 是四条直线， α ， β 是两个不重合的平面，若 a ∥ b ∥ c ∥ d ， a ⊂ α ， b ⊂ α ， c ⊂ β ， d ⊂ β ，则 α 与 β 的位置关系是（　　） A. 平行 B. 相交 C. 平行或相交 D. 以上都不对 解析： C 　 由图 ① 和图 ② 可知， α 与 β 平行或相交 . 3. 六棱柱 ABCDEF - A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 的底面是正六边形，则此六棱柱的面中互相平行的有 　　　　 对 .   解析： 相对的两个侧面以及上下两底面相互平行，所以六棱柱的面中互相平行的有 4 对 . 答案： 4 题型一 平面与平面平行判定定理的理解 【例 1 】 　已知 α ， β 是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面 α 与平面 β 平行的是（　　） A. 平面 α 内有一条直线与平面 β 平行 B. 平面 α 内有两条直线与平面 β 平行 C. 平面 α 内有一条直线与平面 β 内的一条直线平行 D. 平面 α 与平面 β 不相交 解析　 选项 A 、 C 不正确，因为两个平面可能相交；选项 B 不正确，因为平面 α 内的这两条直线必须相交才能得到平面 α 与平面 β 平行；选项 D 正确，因为两个平面（不重合）的位置关系只有相交与平行两种，又因为两个平面不相交，所以这两个平面必定平行 . 故选 D. 答案　 D 通性通法 平面与平面平行的判定方法 （ 1 ）定义法：两个平面没有公共点； （ 2 ）判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面； （ 3 ）利用平行平面的传递性：若 α ∥ β ， β ∥ γ ，则 α ∥ γ. 下列命题正确的是（　　） A. 一个平面内两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行 B. 如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 C. 平行于同一直线的两个平面一定相互平行 D. 如果一个平面内的无数条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 解析： B 　 对于 A 、 C 、 D 选项，两个平面均有可能相交，而对于 B 选项，如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，故 A 、 C 、 D 错误， B 正确 . 题型二 平面与平面平行的证明 【例 2 】 　如图所示，已知正方体 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 . （ 1 ）求证：平面 A 1 BD ∥ 平面 B 1 D 1 C ； （ 2 ）若 E ， F 分别是 AA 1 ， CC 1 的中点，求证：平面 EB 1 D 1 ∥ 平面 FBD . 证明 　 （ 1 ）因为 B 1 B 􀰿 DD 1 ，所以四边形 BB 1 D 1 D 是平行四边形， 所以 B 1 D 1 ∥ BD ，又 BD ⊄ 平面 B 1 D 1 C ， B 1 D 1 ⊂ 平面 B 1 D 1 C ， 所以 BD ∥ 平面 B 1 D 1 C . 同理 A 1 D ∥ 平面 B 1 D 1 C . 又 A 1 D ∩ BD ＝ D ，所以平面 A 1 BD ∥ 平面 B 1 D 1 C . （ 2 ）由 BD ∥ B 1 D 1 ， BD ⊄ 平面 EB 1 D 1 ， B 1 D 1 ⊂ 平面 EB 1 D 1 ，得 BD ∥ 平面 EB 1 D 1 . 如图，取 BB 1 的中点 G ，连接 AG ， GF ，易得 AE ∥ B 1 G ， 又因为 AE ＝ B 1 G ，所以四边形 AEB 1 G 是平行四边形， 所以 B 1 E ∥ AG . 易得 GF ∥ AD ，又因为 GF ＝ AD ， 所以四边形 ADFG 是平行四边形，所以 AG ∥ DF ， 所以 B 1 E ∥ DF ，又 DF ⊄ 平面 EB 1 D 1 ， B 1 E ⊂ 平面 EB 1 D 1 ， 所以 DF ∥ 平面 EB 1 D 1 . 又因为 BD ∩ DF ＝ D ，所以平面 EB 1 D 1 ∥ 平面 FBD . （ 变条件 ， 变设问 ） 把本例（ 2 ）的条件改为 “ E ， F 分别是 AA 1 与 CC 1 上的点，且 A 1 E ＝ A 1 A ” ，求 F 在何位置时，平面 EB 1 D 1 ∥ 平面 FBD ？ 解： 当 F 满足 CF ＝ CC 1 时，两平面平行，下面给出证明： 如图，在 D 1 D 上取点 M ，且 DM ＝ DD 1 ， 连接 AM ， FM ，则 AE 􀰿 D 1 M ， 从