6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示
课程标准1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示．2．理解向量坐标的概念，掌握两个向量和、差的坐标运算法则．
新知初探·课前预习题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
教 材 要 点要点一 平面向量的正交分解把一个向量分解成两个________的向量，叫做把向量作正交分解．要点二 平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向________的两个______向量分别为 i，j，取{i，j}作为基底，对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理知，________一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，则把有序数对________叫做向量a的坐标❶，记作a＝________，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，a＝(x，y)叫做向量a的坐标表示．显然，i＝________，j＝________，0＝(0，0)．互相垂直相同单位有且只有(x，y)(x，y)(1，0)(0，1)
要点三 平面向量加、减运算的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量＝(x2－x1，y2－y1)❷，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标． 数学公式文字语言表述向量加法a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和向量减法a－b＝(x1－x2，y1－y2)两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差
助学批注批注❶ 向量坐标与点的坐标有区别，当且仅当向量的起点为坐标原点时，向量坐标才与其终点的坐标相等．如：点A的位置向量的坐标(x，y)，也就是点A的坐标(x，y)；反之，点A的坐标(x，y)也是点A相对于坐标原点的位置向量的坐标．批注❷ 向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关．若＝(a1，a2)，则将任意平移后其坐标仍为(a1，a2)．
夯 实 双 基1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．( )(2)向量的坐标就是向量终点的坐标．( )(3)在平面直角坐标系中，两个相等向量的坐标相同．( )(4)点的坐标与向量的坐标相同．( )××√×
2．已知向量a＝(2，1)，b＝(0，1)，则a－b＝( )A. (2，0) B．(0，1)C. (2，1) D．(4，1)答案：A解析：因为a＝(2，1)，b＝(0，1)，所以a－b＝(2，0)，故选A.
3．在平面直角坐标系中，若点A(0，1)，B(－1，2)，则的坐标为( )A.(－1，1) B．(1，1)C.(－1，2) D．(－1，3) 答案：A解析：由题意，＝(－1－0，2－1)＝(－1，1)，故选A.
4．已知向量a＝(0，3)，b＝(4，1)，则a＋b的坐标是________． (4，4)解析：a＋b＝(0，3)＋(4，1)＝(4，4)．
题型探究·课堂解透
题型 1 平面向量的坐标表示例1 在平面直角坐标系中，向量a，b，c的方向如图所示，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，求向量a，b，c的坐标．
解析：设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，c＝(c1，c2)．a1＝|a|cos 45°＝2×＝，a2＝|a|sin 45°＝2×＝，b1＝|b|cos 120°＝3×＝－，b2＝|b|sin 120°＝3×＝，c1＝|c|cos (－30°)＝4×＝2，c2＝|c|sin (－30°)＝4×＝－2.∴a＝()，b＝(－)，c＝(2，－2)．
题后师说求点、向量坐标的常用方法(1)求一个点的坐标：可利用已知条件，先求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标，该坐标就等于相应点的坐标．(2)求一个向量的坐标：首先求出这个向量的始点、终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标．
巩固训练1 如图，取与x轴、y轴同向的两个单位向量i，j，{i，j}作为基底，分别用i，j表示，并求出它们的坐标． 解析：由题图可知，＝6i＋2j，＝2i＋4j，＝－4i＋2j，它们的坐标表示为＝(6，2)，＝(2，4)，＝(－4，2)．
题型 2 平面向量加、减运算的坐标表示例2 (1)已知向量a，b满足a＋b＝(1，3)，a－b＝(3，－3)，则a，b的坐标分别为( )A．(4，0)，(－2，6) B．(－2，6)，(4，0)C．(2，0)，(－1，3) D．(－1，3)，(2，0)答案：C解析：2a＝(a＋b)＋(a－b)＝(4，0)，于是a＝(2，0)，所以b＝(－1，3)．故选C.
(2)在▱ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2，4)，＝(1，3)，求的坐标． 解析：∵＝，∴＝＝(－1，－1)，∴＝＝(－3，－5)．
题后师说平面向量加、减坐标运算的方法(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行运算．(2)若已知有向线段两端点的坐标，则必须先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．
巩固训练2 已知点A(0，1)，B(3，2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝( )A．(－7，－4) B．(7，4)C．(－1，4) D．(1，4) 解析：法一：设C(x，y)，则＝(x，y－1)＝(－4，－3)，所以从而＝(－4，－2)－(3，2)＝(－7，－4)．故选A.法二：＝(3，2)－(0，1)＝(3，1)，＝＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)．故选A. 答案：A
题型 3 平面向量坐标运算的应用例3 在直角坐标系中，O为原点，A(－3，－4)，B(5，－12)，且O、A、B是一个平行四边形的三个顶点，求第四个顶点坐标．
2023-2024学年人教A版高中数学必修第二册 6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示 课件
