2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第二册 第五章一元函数的导数及其应用 章末素养提升 学案

第五 章一元函数的导数及其应用 章末素养提升 一、数学运算 数学运算是指在明晰运算对象的基础上 ， 依据运算 法则解决数学问题的素养． 主要表现为：理解运算对象 ， 掌握运算法则 ， 探究运算思路 ， 求得运算结果．在本章主要表现在利用运算法则求函数的导数 ， 复合函数的导数的计算；函数的极值、最值的计算的学习中． 角度一　导数的运算 【例 1 】　 求下列函数的导数． (1) y ＝ x 2 sin x ； (2) y ＝ ＋ ； (3) y ＝ . 解　 (1) y ′ ＝ ( x 2 )′ sin x ＋ x 2 ( sin x )′ ＝ 2 x sin x ＋ x 2 cos x . (2) ∵ y ＝ ＋ ＝ ， ∴ y ′ ＝ ＝ . (3) y ′ ＝ ′ ＝ ＝ ＝ 角度二　函数的极值、最值与导数 【例 2 】　 已知函数 f ( x ) ＝ x 3 ＋ ax 2 ＋ b 的图象上一点 P (1 ， 0 ) 且在点 P 处的切线与直线 3 x ＋ y ＝ 0 平行． (1) 求 函数 f ( x ) 的解析式； (2) 求函数 f ( x ) 在区间 [0 ， t ](0 ＜ t ＜ 3) 上的最大值和最小值． 解　 (1) 因为 f ′( x ) ＝ 3 x 2 ＋ 2 ax ， 曲线在 P (1 ， 0 ) 处的切线斜率为 f ′(1) ＝ 3 ＋ 2 a ， 即 3 ＋ 2 a ＝－ 3 ， a ＝－ 3. 又函数过 (1 ， 0 ) 点 ， 即－ 2 ＋ b ＝ 0 ， b ＝ 2. 所以 a ＝－ 3 ， b ＝ 2 ， f ( x ) ＝ x 3 － 3 x 2 ＋ 2. (2) 由 (1) 得 f ( x ) ＝ x 3 － 3 x 2 ＋ 2 ， 得 f ′( x ) ＝ 3 x 2 － 6 x . 由 f ′( x ) ＝ 0 ， 得 x ＝ 0 或 x ＝ 2. ① 当 0 ＜ t ≤ 2 时 ， 在区间 (0 ， t ) 上 ， f ′ ( x ) ＜ 0 ， f ( x ) 在 [0 ， t ] 上是减函数 ， 所以 f ( x ) max ＝ f (0) ＝ 2 ， f ( x ) min ＝ f ( t ) ＝ t 3 － 3 t 2 ＋ 2. ② 当 2 ＜ t ＜ 3 时 ， 当 x 变化时 ， f ′ ( x ) ， f ( x ) 的变化情况如下表： x 0 (0 ， 2 ) 2 (2 ， t ) t f ′( x ) 0 － 0 ＋ f ( x ) 2  － 2  t 3 － 3 t 2 ＋ 2 f ( x ) min ＝ f (2) ＝－ 2 ， f ( x ) max 为 f (0) 与 f ( t ) 中较大的一个． f ( t ) － f (0) ＝ t 3 － 3 t 2 ＝ t 2 ( t － 3) ＜ 0 ， 所以 f ( x ) max ＝ f (0) ＝ 2. 【母题探究 1 】 　 ( 变结论 ) 在本例条件不变的情况下 ， 若关于 x 的方程 f ( x ) ＝ c 在区间 [1 ， 3 ] 上恰有两个相异的实根 ， 求实数 c 的取值范围． 解　 令 g ( x ) ＝ f ( x ) － c ＝ x 3 － 3 x 2 ＋ 2 － c ， 则 g ′( x ) ＝ 3 x 2 － 6 x ＝ 3 x ( x － 2). 在 x ∈ [1 ， 2 ) 上 ， g ′ ( x ) ＜ 0 ；在 x ∈ (2 ， 3 ] 上 ， g ′ ( x ) ＞ 0. 要使 g ( x ) ＝ 0 在 [1 ， 3 ] 上恰有两个相异的实根 ， 则 解得－ 2 ＜ c ≤ 0. 【母题探究 2 】　 ( 变结论 ) 在本例条件不变的情况下 ， 若 y ＝ m 与 y ＝ f ( x ) 的图象相切 ， 求 m 的值． 解　 由例 (1) 知 f ( x ) ＝ x 3 － 3 x 2 ＋ 2. 且 x ＝ 0 时 f ( x ) max ＝ f (0) ＝ 2. x ＝ 2 时 f ( x ) min ＝ f (2) ＝－ 2. ∵ y ＝ m 与 y ＝ f ( x ) 的图象相切 ， ∴ m ＝ 2 或－ 2. 【例 3 】　 已知函数 f ( x ) ＝ x 3 ＋ ax 2 ＋ bx ＋ c ， 过曲线 y ＝ f ( x ) 上的点 P (1 ， f (1)) 的切线方程为 y ＝ 3 x ＋ 1 ， y ＝ f ( x ) 在 x ＝－ 2 时有极值． (1) 求 f ( x ) 的表达式； (2) 求 f ( x ) 在 [ － 3 ， 1 ] 上的单调区间和最大值． 解　 (1) 由 f ( x ) ＝ x 3 ＋ ax 2 ＋ bx ＋ c 求导数得 f ′( x ) ＝ 3 x 2 ＋ 2 ax ＋ b 过 y ＝ f ( x ) 上点 P (1 ， f (1)) 的切线方程为： y － f (1) ＝ f ′(1)( x － 1) 即 y － ( a ＋ b ＋ c ＋ 1) ＝ (3 ＋ 2 a ＋ b )·( x － 1) 故 即 ∵ 有 y ＝ f ( x ) 在 x ＝－ 2 时有极值 ， 故 f ′ ( － 2) ＝ 0 ∴ － 4 a ＋ b ＝－ 12 　 ③ 由 ①②③ 相联立解得 a ＝ 2 ， b ＝－ 4 ， c ＝ 5 f ( x ) ＝ x 3 ＋ 2 x 2 － 4 x ＋ 5. (2) f ′( x ) ＝ 3 x 2 ＋ 2 ax ＋ b ＝ 3 x 2 ＋ 4 x － 4 ＝ (3 x － 2)·( x ＋ 2) x － 3 ( － 3 ， － 2) － 2 ( － 2 ， ) ( ， 1 ) 1 f ′( x ) ＋ 0 － 0 ＋ f ( x ) 8 增函数 极大 值 13 减函数 极小值 增函数 f ( x ) 极大 ＝ f ( － 2) ＝ ( － 2) 3 ＋ 2( － 2) 2 － 4( － 2) ＋ 5 ＝ 13 ， f (1) ＝ 1 3 ＋ 2 × 1 － 4 × 1 ＋ 5 ＝ 4 ∴ f ( x ) 在 [ － 3 ， 1 ] 上最大值为 13. 函数的单调增区间为： ( － 3 ， － 2) ， ( ， 1 ) ；单调减区间为： ( － 2 ， ). 二、逻辑推理 逻辑推理是指从一些事实和命题出 发，依据规则推出其他命题的素养． 主要表现为：掌握推理基本形式和规则 ， 发现问题和提出命题 ， 探索和表述论证过程 ， 理解命题体系 ， 有逻辑地表达与交流．在本章主要表现函数的单调性的学习中． 【例 4 】　 已知函数 f ( x ) ＝ x 3 － ax － 1. (1) 若 f ( x ) 在实数集 R 上单调递增 ， 求实数 a 的取值范围； (2) 是否存在实数 a ， 使 f ( x ) 在 ( － 1 ， 1 ) 内单调递减？若存在 ， 求出 a 的取值范围；若不存在 ， 请说明理由． 解 　 (1) 由已知 ， 得 f ′( x ) ＝ 3 x 2 － a . 因为 f ( x ) 在 ( － ∞ ，