2023年全国统一高考数学试卷（新高考ⅰ卷）（全解析版）

2023 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国Ⅰ卷） 数 学 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 2 2. 已知 ，则 （ ） A. B. C. 0 D. 1 3. 已知向量 ，若 ，则（ ） A. B. C. D. 4. 设函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 设椭圆 的离心率分别为 ．若 ，则 （ ） A B. C. D. 6. 过点 与圆 相切的两条直线的夹角为 ，则 （ ） A. 1 B. C. D. 7. 记 为数列 的前 项和，设甲： 为等差数列；乙： 为等差数列，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 8. 已知 ，则 （ ）． A. B. C. D. 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分 . 9. 有一组样本数据 ，其中 是最小值， 是最大值，则（ ） A. 的平均数等于 的平均数 B. 的中位数等于 的中位数 C. 的标准差不小于 的标准差 D. 的极差不大于 的极差 10. 噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级 ，其中常数 是听觉下限阈值， 是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离 声压级 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车 处测得实际声压分别为 ，则（ ）． A. B. C. D. 11. 已知函数 的定义域为 ， ，则（ ）． A. B. C. 是偶函数 D. 为 的极小值点 12. 下列物体中，能够被整体放入棱长为 1 （单位： m ）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ） A. 直径为 球体 B. 所有棱长均为 的四面体 C. 底面直径为 ，高为 圆柱体 D. 底面直径为 ，高为 的圆柱体 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13. 某学校开设了 4 门体育类选修课和 4 门艺术类选修课，学生需从这 8 门课中选修 2 门或 3 门课，并且每类选修课至少选修 1 门，则不同的选课方案共有 ________ 种（用数字作答）． 14. 在正四棱台 中， ，则该棱台的体积为 ________ ． 15. 已知函数 在区间 有且仅有 3 个零点，则 的取值范围是 ________ ． 16. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ．点 在 上，点 在 轴上， ，则 的离心率为 ________ ． 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知在 中， ． （ 1 ）求 ； （ 2 ）设 ，求 边上的高． 18. 如图，在正四棱柱 中， ．点 分别在棱 , 上， ． （ 1 ）证明： ； （ 2 ）点 在棱 上，当二面角 为 时，求 ． 19. 已知函数 ． （ 1 ）讨论 的单调性； （ 2 ）证明：当 时， ． 20. 设等差数列 的公差为 ，且 ．令 ，记 分别为数列 的前 项和． （ 1 ）若 ，求 的通项公式； （ 2 ）若 等差数列，且 ，求 ． 21. 甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投籃，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮 命中率均为 0.6 ，乙每次投篮的命中率均为 0.8 ．由抽签确定第 1 次投篮的人选，第 1 次投篮的人是甲、乙的概率各为 0.5 ． （ 1 ）求第 2 次投篮的人是乙的概率； （ 2 ）求第 次投篮的人是甲的概率； （ 3 ）已知：若随机变量 服从两点分布，且 ，则 ．记前 次（即从第 1 次到第 次投篮）中甲投篮的次数为 ，求 ． 22. 在直角坐标系 中，点 到 轴的距离等于点 到点 的距离，记动点 的轨迹为 ． （ 1 ）求 的方程； （ 2 ）已知矩形 有三个顶点在 上，证明：矩形 的周长大于 ———————————————————————————————————— ———————————————————————————————————— 2023 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国Ⅰ卷） 数 学 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 2 【思路分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合 ，即可根据交集的运算解出． 方法二：将集合 中的元素逐个代入不等式验证，即可解出． 【解析】方法一：因为 ，而 ， 所以 ．故选： C ． 方法二：因为 ，将 代入不等式 ，只有 使不等式成立，所以 ．故选： C ． 2. 已知 ，则 （ ） A. B. C. 0 D. 1 【思路分析】根据复数的除法运算求出 ，再由共轭复数的概念得到 ，从而解出． 【解析】因为 ，所以 ，即 ． 故选： A ． 3. 已知向量 ，若 ，则（ ） A. B. C. D. 【思路分析】根据向量的坐标运算求出 ， ，再根据向量垂直的坐标表示即可求出． 【解析】因为 ，所以 ， ， 由 可得， ， 即 ，整理得： ． 故选： D ． 4. 设函