核心素养思维脉络1.理解随机变量及离散型随机变量的含义并会求离散型随机变量的分布列.(数学抽象)2.了解离散型随机变量的性质、两点分布的概念.(数学抽象)3.会求简单的离散型随机变量的分布列.(数学运算)
课前篇 自主预习
激趣诱思投掷一颗骰子,所得点数为X.请问X可取哪些数字?当X取不同的值时,其概率分别是多少?你能用表格表示X的取值与相应概率的对应关系吗?
知识点拨一、离散型随机变量取值能够一一列举出来的随机变量称为离散型随机变量.名师点析离散型随机变量的特征(1)可用数值表示;(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值;(3)试验之前不能确定取何值;(4)试验结果能一一列出.
微判断(1)一只大熊猫一年内的体重是离散型随机变量.( )(2)离散型随机变量的取值一定是有限个.( )(3)离散型随机变量是指某一区间内的任意值.( )答案 (1)× (2)× (3)× 解析 (1)大熊猫一年内的体重是连续型随机变量.(2)离散型随机变量的取值可能是无限个,但是能一一列出.(3)离散型随机变量的取值都能一一列出,不可以是某一区间内的任意值.
二、离散型随机变量的分布列1.定义若离散型随机变量X的取值为x1,x2,…,xn,…,随机变量X取xi的概率为pi(i=1,2,…,n,…),记作P(X=xi)=pi(i=1,2,…,n,…).①①式也可以列成表,如表所示:xix1x2…xn…P(X=xi)p1p2…pn…上表或①式称为离散型随机变量X的分布列,简称为X的分布列.
2.性质(1)pi>0(i=1,2,…,n,…);(2)p1+p2+…+pn+…=1.
名师点析对于性质的理解1.pi表示的是事件X=xi发生的概率,因此每一个pi都是非负数.2.因为分布列给出了随机变量能取的每一个值,而且随机变量取不同的值时的事件是互斥的,因此p1+p2+…+pn+…应该等于1.另一方面,由此可以得出随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.
微练习1已知随机变量X的分布列是 X123P ab则a+b=( )
答案 A
微练习2掷一枚质地均匀的骰子,X表示掷出的点数,求随机变量X的分布列.解由题意得X=1,2,3,4,5,6,由掷出各种点数的可能性相等,可得各个取值的概率因此X的分布列如下表所示. X123456P
三、伯努利试验与两点分布若在某个试验中,每次试验只有两个相互对立的结果,可以分别称为“成功”和“失败”,每次“成功”的概率均为p,每次“失败”的概率均为1-p,则称这样的试验为伯努利试验.如果随机变量X的分布列如表所示:X10Ppq其中0<p<1,q=1-p,那么称离散型随机变量X服从参数为p的两点分布(又称0—1分布或伯努利分布).
微思考若随机变量X的分布列为X12P 那么X服从两点分布吗? 提示不服从两点分布,两点分布中X的取值只能是0,1.
课堂篇 探究学习
探究一离散型随机变量的判定例1指出下列随机变量是否是离散型随机变量,并说明理由.(1)某座大桥一天经过的车辆数X;(2)某超市5月份每天的销售额;(3)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ;(4)长江某水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化,该水位站所测水位ξ.
解 (1)车辆数X的取值可以一一列出,故X为离散型随机变量.(2)某超市5月份每天销售额可以一一列出,故为离散型随机变量.(3)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出,不是离散型随机变量.(4)不是离散型随机变量.水位在(0,29]这一范围内变化,不能按次序一一列举.
反思感悟 “三步法”判定离散型随机变量1.依据具体情境分析变量是否为随机变量.2.由条件求解随机变量的值域.3.判断变量的取值能否被一一列举出来,若能,则是离散型随机变量;否则,不是离散型随机变量.
变式训练1指出下列随机变量是不是离散型随机变量,并说明理由.(1)从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中任取一张,被取出的卡片的号码;(2)一个袋中装有4个白球和3个黑球,从中任取3个,其中所含白球的个数;(3)某林场树木最高达30 m,此林场中树木的高度.
解 (1)只要取出一张,便有一个号码,因此被取出的卡片号数可以一一列出,符合离散型随机变量的定义.(2)从7个球中取3个球,所得的结果有以下几种:3个白球;2个白球和1个黑球;1个白球和2个黑球;3个黑球,即其结果可以一一列出,符合离散型随机变量的定义.(3)林场树木的高度是一个随机变量,它可以取(0,30]内的一切值,无法一一列举,不是离散型随机变量.
例2(多选题)抛掷两枚骰子一次,记第一枚骰子掷出的点数减去第二枚骰子掷出的点数之差为X,那么“X≤-4”表示的随机事件的结果是( )A.第一枚1点,第二枚4点B.第一枚2点,第二枚6点C.第一枚1点,第二枚5点D.第一枚1点,第二枚6点答案 BCD解析 抛掷两枚骰子,点数之差满足小于等于-4的只有三种情况:第一枚为1点、第二枚为6点;第一枚为1点、第二枚为5点;第一枚为2点、第二枚为6点.
延伸探究本例中,如果掷出的点数之差的绝对值为随机变量X,X取值有哪些? 提示X=0,1,2,3,4,5. 反思感悟 关于离散型随机变量取值的意义关键是明确随机试验产生随机变量的方法,就可以反推随机变量的取值对应的试验结果.这个试验结果对于求随机变量取值对应的概率至关重要.
变式训练2一个袋中装有5个白球和5个黑球,从中任取3个,其中所含白球的个数为ξ.(1)列表说明可能出现的结果与对应的ξ的值;(2)若
2023-2024学年北师大版高中数学选择性必修第一册 离散型随机变量的分布列 课件
