3
．
1
函数的概念及其表示
3
．
1.1
函数的概念
学习目标
1.
理解函数的概念，了解构成函数的三要素
.2.
能正确使用区间表示数集
.3.
会求一些简单函数的定义域、函数值．
知识点一 函数的有关概念
函数的定义
设
A
，
B
是非空的
实数集
，如果对于集合
A
中
任意一个数
x
，按照某种确定的对应关系
f
，在集合
B
中都有
唯一确定
的数
y
和它对应，那么就称
f
：
A
→
B
为从集合
A
到集合
B
的一个函数
函数的记法
y
＝
f
(
x
)
，
x
∈
A
定义域
x
叫做自变量，
x
的
取值范围
A
叫做函数的定义域
值域
函数值的集合
叫做函数的值域
知识点二 同一个函数
一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域．如果两个函数的
定义域
相同，并且
对应关系
完全一致，我们就称这两个函数是同一个函数．
特别提醒：两个函数的定义域和对应关系相同就决定了这两个函数的值域也相同．
思考
定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数吗？
答案
不一定，如果对应关系不同，这两个函数一定不是同一个函数．
知识点三 区间
1
．区间概念
(
a
，
b
为实数，且
a
<
b
)
定义
名称
符号
数轴表示
{
x
|
a
≤
x
≤
b
}
闭区间
[
a
，
b
]
{
x
|
a
<
x
<
b
}
开区间
(
a
，
b
)
{
x
|
a
≤
x
<
b
}
半开半闭区间
[
a
，
b
)
{
x
|
a
<
x
≤
b
}
半开半闭区间
(
a
，
b
]
2.
其他区间的表示
定义
R
{
x
|
x
≥
a
}
{
x
|
x
>
a
}
{
x
|
x
≤
a
}
{
x
|
x
<
a
}
区间
(
－
∞
，＋
∞)
[
a
，＋
∞)
(
a
，＋
∞)
(
－
∞
，
a
]
(
－
∞
，
a
)
1
．
任何两个集合之间都可以建立函数关系．
(
×
)
2
．已知定义域和对应关系就可以确定一个函数．
(
√
)
3
．定义域中的某一个
x
可以对应着不同的
y
.(
×
)
4
．区间不可能是空集．
(
√
)
一、函数关系的判断
例
1
下列对应关系式中是
A
到
B
的函数的是
(
)
A
．
A
⊆
R
，
B
⊆
R
，
x
2
＋
y
2
＝
1
B
．
A
＝
{
－
1,0,1}
，
B
＝
{1,2}
，
f
：
x
→
y
＝
|
x
|
＋
1
C
．
A
＝
R
，
B
＝
R
，
f
：
x
→
y
＝
D
．
A
＝
Z
，
B
＝
Z
，
f
：
x
→
y
＝
答案
B
解析
对于
A
，
x
2
＋
y
2
＝
1
可化为
y
＝
±
，显然对任意
x
∈
A
(
x
＝
±1
除外
)
，
y
值不唯一，故不符合函数的定义；对于
B
，符合函数的定义；对于
C,2∈
A
，在此时对应关系无意义，故不符合函数的定义；对于
D
，－
1∈
A
，但在集合
B
中找不到与之相对应的数，故不符合函数的定义．
反思感悟
判断对应关系是否为函数，主要从以下三个方面去判断：
(1)
A
，
B
必须是非空实数集；
(2)
A
中任何一个元素在
B
中必须有元素与其对应；
(3)
A
中任何一个元素在
B
中的对应元素必须唯一．
跟踪训练
1
下列图象中，可作为函数图象的是
________
．
(
填序号
)
答案
①③④
解析
对于
②⑤
中存在一个
x
的值，
y
有两个值与之对应，所以不是函数图象，
①③④
符合函数定义．
二、求函数的定义域、函数值
命题角度
1
求函数的定义域
例
2
求下列函数的定义域．
(1)
y
＝
2
－
；
(2)
y
＝
；
(3)
y
＝
＋
.
解
(1)
由
得
0
≤
x
≤
，
所以函数
y
＝
2
－
的定义域为
.
(2)
由于
0
的零次幂无意义，
故
x
＋
1≠0
，即
x
≠
－
1.
又
x
＋
2>0
，即
x
>
－
2
，
所以
x
>
－
2
且
x
≠
－
1.
所以函数
y
＝
的定义域为
.
(3)
由
解得－
2
≤
x
<0
或
0<
x
≤
2
，
所以函数
y
＝
＋
的定义域为
[
－
2,0)
∪
(0,2]
．
反思感悟
求函数定义域的常用依据
(1)
若
f
(
x
)
是分式，则应考虑使分母不为零；
(2)
若
f
(
x
)
是偶次根式，则被开方数大于或等于零；
(3)
若
f
(
x
)
是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义；
(4)
若
f
(
x
)
是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．
跟踪训练
2
求下列函数的定义域．
(1)
y
＝
－
；
(2)
y
＝
＋
.
解
(1)
由
得
所以定义域为
{
x
|
x
≤
1
且
x
≠
－
1}
．
(2)
由
得
x
≤
－
或
2
≤
x
<4
，
所以定义域为
∪[2,4)
．
命题角度
2
求函数值
例
3
已知
f
(
x
)
＝
(
x
∈
R
且
x
≠
－
1)
，
g
(
x
)
＝
x
2
＋
2 (
x
∈
R
)
．
(1)
求
f
(2)
，
g
(2)
的值；
(2)
求
f
(
g
(2))
的值．
解
(1)
因为
f
(
x
)
＝
，所以
f
(2)
＝
＝
.
又因为
g
(
x
)
＝
x
2
＋
2
，所以
g
(2)
＝
2
2
＋
2
＝
6.
(2)
f
(
g
(2))
＝
f
(6)
＝
＝
.
反思感悟
求函数值的方法
(1)
已知
f
(
x
)
的解析式时，只需用
a
替换解析式中的
x
即得
f
(
a
)
的值．
(2)
已知
f
(
x
)
与
g
(
x
)
，求
f
(
g
(
a
))
的值应遵循由里往外的原则．
跟踪训练
3
已知
f
(
x
)
＝
则
f
(
f
(2))
＝
________.
答案
－
解析
f
(2)
＝－
2
2
＋
1
＝－
3
，
∴
f
(
f
(2))
＝
f
(
－
3)
＝－
.
三、同一个函数的判定
例
4
下列选项中能表示同一个函数的是
(
)
A
．
y
＝
x
＋
1
与
y
＝
B
．
y
＝
x
2
＋
1
与
s
＝
t
2
＋
1
C
．
y
＝
2
x
与
y
＝
2
x
(
x
≥0)
D
．
y
＝
(
x
＋
1)
2
与
y
＝
x
2
高中数学新教材人教A版同步必修第一册 第3章 3.1.1 函数的概念
