2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第3册 6.2.3.2　组合数的综合应用 学案

6.2.3.2 　组合数的综合应用 素养目标 · 定方向 学习目标 特别关注 理解组合数的概念，能利用组合数公式解决简单的实际问题 . 重点： 组合数公式的应用． 难点： 解决含有限制条件的组合问题及简单的排列、组合的综合问题． 核心素养： 逻辑推理、数学运算、直观想象 . 必备知识 · 探新知 1 ．对于含有限制条件的组合问题，要合理分类，必要时可用间接法． 2 ．对于分组问题应注意避免计数的重复或遗漏，对于分配问题解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关． 思考： 在解决排列组合的综合问题时要注意哪些问题？ 提示： 在解决此类问题时，要注意题中的隐含条件；解题过程中要首先分清 “ 是分类还是分步 ”“ 是排列还是组合 ” ；在应用分类加法计数原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏． 关键能力 · 攻重难 题型探究 题型一　基本组合问题 典例 1 　 (1) 为了配合创建全国文明城市的活动，某校现从 4 名男教师和 5 名女教师中选取 3 人组成创文明志愿者小组，若男女教师至少各有一人，则不同的选法共有 ( 　 C 　 ) A ． 140 种 B ． 84 种 C ． 70 种 D ． 35 种 (2) 某人决定投资 8 种股票和 4 种债券，经纪人向他推荐了 12 种股票和 7 种债券，则此人有 _ 17_325 __ 种不同的投资方式． (3)(2022· 福建省泉州市期中 ) 现有 8 本杂志，其中有 3 本是完全相同的文学杂志，另 5 本是互不相同的数学杂志，从这 8 本里选取 3 本，则不同选法的种数为 _ 26 __. [ 分析 ] 　 (1) 选出的 3 名教师之间无顺序之分，因此是组合问题，但需要对教师的组成人员分类 求解； (2) 选出的 8 种股票无顺序之分，选出的 4 种债券也无顺序之分，因此是组合问题，但需要分选股票、选债券两步求解； (3) 本小题需要注意一个问题，从 3 本完全相同的文学杂志中选书并不是组合问题，只有从 5 本不同的数学杂志中选书才是组合问题． [ 解析 ] 　 (1)( 方法一：分类法 ) 可按选取男教师的人数分两类： 第一类：从 9 名教师中选 1 名男教师 2 名女教师，共有 C C 种选法； 第二类：从 9 名教师中选 2 名男教师 1 名女教师，共有 C C 种选法． 根据分类加法计数原理得不同选法种数为 C C ＋ C C ＝ 70. ( 方法二：间接法 ) 从 4 名男教师和 5 名女教师中，选取 3 人，共有 C 种情况．若全为男教师，共有 C 种情况；若全为女教师，共有 C 种情况． 所以若男女教师至少各有一人，则不同的选法种数为 C － C － C ＝ 70. (2) 需分两步． 第一步：根据经纪人的推荐在 12 种股票中选 8 种，共有 C 种选法． 第二步：根据经纪人的推荐在 7 种债券中选 4 种，共有 C 种选法． 根据分步乘法计数原理，此人有 C ·C ＝ 17 325( 种 ) 不同的投资方式． (3) 在这 8 本杂志中， 3 本文学杂志是完全相同的，因此从中选取并不是组合问题． 从这 8 本杂志里选取 3 本，可分四类完成． 第一类：文学杂志选取 0 本，数学杂志选取 3 本，有 C 种不同的选法． 第二类：文学杂志选取 1 本，数学杂志选取 2 本，有 C 种不同的选法． 第三类：文学杂志选取 2 本，数学杂志选取 1 本，有 C 种不同的选法． 第四类：文学杂志选取 3 本，数学杂志选取 0 本，有 1 种不同的选法． 根据分类加法计数原理，不同选法的种数为 C ＋ C ＋ C ＋ 1 ＝ 26. [ 规律方法 ] 　 求解无限制条件的组合问题的思路 对于无限制条件的组合问题，首先要分清完成一件事情是需要分类还是分步，在每一类 ( 或每一步 ) 中注意分清对象的总数及取出对象的个数，按照组合的定义，正确地表示出相应的组合数，再利用分类加法计数原理或分步乘法计数原理计数． 【对点训练】 ❶ (1)5 个不同的球，放入 8 个不同的盒子中，每个盒里至多放一个球，则不同的放法有 ( 　 A 　 ) A ． A 种 B ． C 种 C ． 5 8 种 D ． 8 5 种 (2)5 个相同的球，放入 8 个不同的盒子中，每个盒里至多放一个球，则不同的放法有 ( 　 B 　 ) A ． A 种 B ． C 种 C ． 5 8 种 D ． 8 5 种 (3)5 个不同的球，放入 8 个不同的盒子中，每个盒里放球数量不限，则不同的放法有 ( 　 D 　 ) A ． A 种 B ． C 种 C ． 5 8 种 D ． 8 5 种 [ 解析 ] 　 (1) 由于球不相同，盒子不同，每个盒里至多放一个球，所以取出 5 个盒子放不同的球，共有 A 种不同的放法． (2) 由于球都相同，盒子不同，每个盒里至多放一个球，所以只要选出 5 个不同的盒子即可．故共有 C 种不同的放法． (3) 由于每个盒里放球数量不限，所以第 1 个球有 8 种放法，第 2 个球有 8 种放法， … ，第 5 个球也有 8 种放法．故不同的放法共有 8 × 8 × 8 × 8 × 8 ＝ 8 5 ( 种 ) ． 题型二　有限制条件的组合问题 典例 2 　 (1) 从 5 名男生和 4 名女生中选出 3 名学生参加某次会议，则至少有 1 名女生参加的情况有 _ 74 __ 种． (2) 学校邀请了 4 位学生的父母共 8 人，并请这 8 位家长中的 4 位介绍其对子女的教育情况，如果这 4 位家长中至多有一对夫妻，那么不同的选择方法有 _ 64 __ 种． [ 分析 ] 　 (1) 选出的 3 人中至少有 1 名女生，有