1．经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，体会导数的概念的实际背景．(数学抽象、数学运算)2．知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想．(数学抽象)3．能够通过函数图象直观地理解导数的几何意义，培养学生的抽象思维能力和应用知识的能力．(数学抽象、直观想象)4．根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．(数学运算)5．了解导函数的概念．(数学抽象、数学运算)
必备知识•探新知
平均变化率的概念 知识点 1
想一想：一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)从x1到x2的平均变化率有什么特点？提示：一次函数的图象为一条直线，图象上任意两点连线的斜率固定不变，故一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)在定义域内的任意区间上的平均变化率都等于常数a.
练一练：一物体运动方程如下：(位移单位：m，时间单位：s)S＝3t2＋2，则物体在t∈[3,5]内的平均速度为______________.24 m/s
瞬时变化率(导数)的概念 知识点 2
A
导数的几何意义 知识点 3(1)切线的定义．如图，在曲线y＝f(x)上任取一点P(x，f(x))，如果当点P(x，f(x))沿着曲线y＝f(x)无限趋近于点P0(x0，f(x0))时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线y＝f(x)在P0处的切线．
C
导函数的概念 知识点 4
想一想：函数f(x)在x＝x0处的导数f ′(x0)、导函数f ′(x)之间有怎样的区别与联系？提示：区别：(1)f ′(x0)是函数f(x)在x＝x0处函数值的改变量与自变量的改变量之比的极限，是一个常数，不是变量；(2)f ′(x)是函数f(x)的导函数，是对某一区间内任意x而言的，即如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每点处都有导数，此时对于每一个x∈(a，b)，都对应着一个确定的导数f ′(x)，从而构成了一个新的函数——导函数f ′(x)．联系：函数f(x)在x＝x0处的导数f ′(x0)就是导函数f ′(x)在x＝x0处的函数值．这也是求函数在x＝x0处的导数的方法之一．
关键能力•攻重难
求f(x)＝x3－x在x＝2处的导数．[分析] 利用导数的定义求导，利用“三步法”求解．[解析] ∵Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝(2＋Δx)3－(2＋Δx)－(23－2)＝(Δx)3＋6(Δx)2＋11Δx，题型探究题型一求函数在某点处的导数典例 1
对点训练❶
对点训练❷D
题型二导数运算公式的形式化计算典例 2B
对点训练❸C
题型三求切线方程[分析] 求函数在某点处的导数，一种方法是直接求函数在该点的导数；另一种方法是先求函数在x＝x0处的导数表达式，再把x的值代入求导数值．典例 3
[规律方法] 1.求曲线在点P(x0，y0)处切线方程的步骤：(1)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)；(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．2．过曲线外的点P(x1，y1)求曲线的切线方程的步骤：(1)设切点为Q(x0，y0)；(2)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)；(3)利用点Q在曲线上和f′(x0)＝kPQ，解出x0，y0及f′(x0)．(4)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
3．要正确区分曲线y＝f(x)在点P处的切线，与过点P的曲线y＝f(x)的切线．求曲线过点P的切线方程时，先验证点P是否在曲线上，再分别按上述1、2求解．4．f′(x0)>0时，切线的倾斜角为锐角； f′(x0)<0时，切线的倾斜角为钝角； f′(x0)＝0时，切线与x轴平行．f(x)在x0处的导数不存在，则切线垂直于x轴或不存在．
对点训练❹
易错警示典例 4
课堂检测•固双基
B
C
2023-2024学年北师大版高中数学选择性必修第二册导数的概念及其几何意义课件
