2023-2024学年高中数学年北师大版选择性必修第二册 第一章数列培优课2数列的求和问题 作业

第一章培优课 2 　 数列的求和问题 A 级 必备知识基础练 1 . 已知数列 { a n } 的通项公式 a n = 2 n+ 1, n ∈ N + , 由 b n = 所确定的数列 { b n } 的前 n 项的和是 ( 　　 ) A. n ( n+ 2) B. n ( n+ 4) C. n ( n+ 5) D. n ( n+ 7) 2 . 已知数列 { a n } 的通项公式 a n = log 3 , 设其前 n 项和为 S n , 则使 S n <- 4 成立的最小正整数 n 等于 ( 　　 ) A.83 B.82 C.81 D.80 3 . 已知正项数列 { a n } 满足 a 1 = 1, = 4, 数列 { b n } 满足 , 记 { b n } 的前 n 项和为 T n , 则 T 20 的值为 ( 　　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 4 . 设 a n = , 数列 { a n } 的前 n 项和 S n = 9, 则 n= 　　　　 .  5 . 若数列 { a n } 满足 a 1 = 1, a n+ 1 = 2 a n ( n ∈ N + ), 则 a 4 = 　　　　   ; 前 8 项的和 S 8 = 　　　　   . ( 用数字作答 )  6 . 已知在等差数列 { a n } 中 , a 4 = 0, a 1 +a 2 =- 5 . (1) 求 { a n } 的通项公式 ; (2) 若 c n = 3 n a n , 求数列 { c n } 的前 n 项和 S n . 7 . 已知数列 是等比数列 , a 1 = 1 且 a 2 , a 3 + 2, a 4 成等差数列 . (1) 求数列 { a n } 的通项公式 ; (2) 设 b n = , 求数列 { b n } 的前 n 项和 S n . B 级 关键能力提升练 8 . ( 多选题 )[2023 江苏南京大学附属中学校考期末 ] 设数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , 且 S n = 2 a n - 1, b n = log 2 a n+ 1 , 则 ( 　　 ) A. 数列 { a n } 是等比数列 B. a n = ( - 2) n- 1 C. + … + D.{ a n +b n } 的前 n 项和为 T n = 2 n - 1 + 9 . 已知数列 {3 n+ 1} 与数列 {4 n- 1}, 其中 n ∈ N + . 它们的公共项由小到大组成新的数列 { a n }, 则 { a n } 前 25 项的和为 ( 　　 ) A.3 197 B.3 480 C.3 586 D.3 775 10 . 已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , a 1 = 2, a m+n =a m a n , 则 S 6 = ( 　　 ) A.12 B.2 7 - 1 C.2 7 D.2 7 - 2 11 . ( 多选题 )[2023 安徽蚌埠二中阶段练习 ] 设等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , 且 S 4 = S 5 , S 6 = 21, 若 + … + <λ 恒成立 , 则 λ 的值不可能是 ( 　　 ) A.1 B.0 C. - 1 D.2 12 . ( 多选题 )[2023 江西高二校联考期中 ] 已知数列 { a n } 满足 a 1 + 3 a 2 + 3 2 a 3 + … + 3 n- 1 a n = ( n ∈ N + ), 则下列说法正确的有 ( 　　 ) A. a 1 = B. 数列 { a n } 为等比数列 C. 若 b n =a 2 n , 则数列 { b n } 的前 n 项和为 1 - D. 若 c n = a n ( n ≥2), 则 c 2 +c 3 +c 4 + … +c n+ 1 = 13 . 已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , 且满足 S n = 2 a n - 1( n ∈ N + ), 则数列 { na n } 的前 n 项和 T n 为 　　　　　　 .  14 . 设等差数列 { a n } 满足 a 2 = 5, a 6 +a 8 = 30, 则 a n = 　　　　　 , 数列 的前 n 项和为 　　　　 .  15 . 已知 { a n } 是等比数列 ,{ b n } 是等差数列 , 且 a 1 = 1, b 1 = 3, a 2 +b 2 = 7, a 3 +b 3 = 11 . (1) 求数列 { a n } 和 { b n } 的通项公式 ; (2) 设 c n = , n ∈ N + , 求数列 { c n } 的前 n 项和 T n . 16 . 已知函数 f ( x ) = ( x ∈ R ), 正项等比数列 { a n } 满足 a 50 = 1, 则 f (ln a 1 ) +f (ln a 2 ) + … +f (ln a 99 ) 的值是多少 ? C 级 学科素养创新练 17 . 已知首项为 - 2 的等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , 数列 { b n } 满足 S n = 2 n (log 2 b n - 2)( n ∈ N + ), b 3 = 8 . (1) 求 a n 与 b n ; (2) 设 c n = , 记数列 { c n } 的前 n 项和为 T n , 证明 : 当 n ∈ N + 时 , T n <- . 18 . 已知正项数列 { a n }, 其前 n 项和为 S n , a n = 1 - 2 S n ( n ∈ N + ) . (1) 求数列 { a n } 的通项公式 ; (2) 设 b n = ( - 1) n , 求数列 { b n } 的前 n 项和 T n . 参考答案 培优课 2 　数列的求和问题 1 . C 　 ∵ a 1 +a 2 + … +a n = (2 n+ 4) =n 2 + 2 n , ∴ b n =n+ 2, ∴ { b n } 的前 n 项和 S n = . 2 . C 　 由题意可得 a n = log 3 = log 3 n- log 3 ( n+ 1), 故 S n = log 3 1 - log 3 2 + log 3 2 - log 3 3 + … + log 3 n- log 3 ( n+ 1) =- log 3 ( n+ 1) <- 4, 即 log 3 ( n+ 1) > 4, 解得 n> 3 4 - 1 = 80, 所以使 S n <- 4 成立的最小正整数 n 等于 81 . 故选 C . 3 . B 　 由 a 1 = 1, = 4, 得 = 4, 所以数列 是以 4 为公差 ,1 为首项的等差数列 , 所以 = 1 + 4( n- 1) = 4 n- 3, 因为 a n > 0, 所以 a n = , 所以 , 所以 b n = ), 所以 T 20 =b 1 +b 2 + … +b 20 = ×( - 1 + 3 - - 3 + … + 9 - ) = ×(9 - 1) = 2 . 故选 B . 4 . 99 　 a n = , 故 S n = - 1 + + … + - 1 = 9 . 解得 n= 99 . 5 . 8 　 255 　 根据题意 , 数列 { a n } 满足 a 1 = 1, a n+ 1 = 2 a n ( n ∈ N + ), 则数列 { a n } 是首项为 1, 公比为 2 的等比数列 , 则 a n =a 1 q n- 1 = 2 n- 1 , 故 a 4 = 2 3 = 8, 前 8 项的和 S 8 = = 255 . 6 . 解 (1) 设 { a n } 的公差为 d , 由已知得 解得 所以 { a n } 的通项公式为 a n =n- 4 . (2) 因为 c n = ( n- 4)3 n , 所以 S n =- 3×3 1