课标要求1.结合教材实例了解利率、利息、存款、分期付款等问题与数列的关系.2.能利用等差、等比数列知识解决与数列有关的问题.3.能利用等差、等比数列知识解决与数列相关的综合性问题.
基础落实•必备知识全过关
知识点 数列在日常经济生活中的应用1.银行存款计息方式(1)单利:单利的计算是仅在 上计算利息,对本金所产生的利息不再计算利息,其公式为 利息=本金×利率×存期.以符号P代表本金,n代表存期,r代表利率,S代表本金与利息和(简称本利和),则有S= . (2)复利:复利是指一笔资金除本金产生利息外,在下一个计息周期内,以前 产生的利息也计算利息的计息方法,复利的计算公式是S= . 原有本金P(1+nr) 各计息周期内 P(1+r)n
2.几种存款模型(1)零存整取模型:每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到约定日期,可以取出全部本利和,这是整取.规定每次存入的钱不计复利,若每月存入金额为x元,月利率r保持不变,存期为n个月,那么到期整取时本利和为y=nx+ x元= 元. (2)定期自动转存模型:储户某日存入一笔1年期定期存款,1年后,如果储户不取出本利和,则银行按存款到期时的一年期定期存款利率自动办理转存业务,第2年的本金就是第1年的本利和.如果储户存入定期为1年的P元存款,定期年利率为r,连存n年后,那么储户所得本利和为Q= . P(1+r)n
3.分期付款模型分期付款中,一般规定每次付款额相同,每期付款的时间间隔相同,每月利息按 计算,各期所付的款额连同到最后一次付款时所产生的利息和等于商品售价及从购买到最后一次付款的利息和. 复利
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)银行存款的计息方式有单利和复利两种.( )(2)单利计息方式是以等差数列为数学模型计算的.( )(3)复利的计息方式是以等比数列为数学模型计算的.( )√ √ √
2.分期付款购买售价为a元的商品,分n次经过m个月还清贷款,每月还款x元,月利率为p,则每次应还款多少元?提示 商品售价及从购买到最后一次付款的利息和为a(1+p)m.各期所付的款额连同到最后一次付款时所产生的利息和为
重难探究•能力素养全提升
探究点一单利与等差数列模型【例1】 (1)王先生为今年上高中的女儿办理了“教育储蓄”,已知当年“教育储蓄”存款的月利率是0.36%.①若每月存500元,则3年后,能一次支取本息多少元?②欲在3年后一次支取本息合计2万元,王先生每月大约存入多少元?(精确到1元)(2)某工厂用分期付款的方式购买40套机器设备,共需1 150万元,购买当天先付150万元,以后每月这一天都交付50万元,并加付欠款利息,月利率为1%,若交付150万元后的第1个月开始算分期付款的第1个月,问分期付款的第10个月应付多少钱?全部按期付清后,买这40套机器设备实际花了多少钱?
解 (1)①每月存500元,3年后的利息为500×(36×0.36%+35×0.36%+…+2×0.36%+1×0.36%)=1 198.8≈1 199(元),所以3年后的本息和为500×36+1 199=19 199(元).②设王先生每月存入x元,则有x(36+ ×0.36%)=20 000,x≈521元,故王先生每月大约存521元.
(2)因为购买设备时已付150万元,所以欠款为1 000万元,依据题意,知其后应分20次付款,则每次付款的数额顺次构成数列{an},且a1=50+1 000×1%=60,a2=50+(1 000-50)×1%=59.5,a3=50+(1 000-50×2)×1%=59,…,an=50+[1 000-50(n-1)] ×1%=60-0.5(n-1)(1≤n≤20,n∈N+),所以数列{an}是以60为首项,-0.5为公差的等差数列,所以a10=60-9×0.5=55.5,所以全部按期付清后,买这40套机器设备实际共花费了1 105+150=1 255(万元).故分期付款的第10个月应付55.5万元,全部按期付清后,买这40套机器设备实际花了1 255万元.
规律方法 “零存整取”是单利计息方式,解答关键是理解所有的利息和为等差数列求和问题.
变式训练1某人从1月起每月第一天存入100元,到12月最后一天取出全部本金和利息,已知月利率是0.165%,按单利计息,那么实际取出多少钱?
解 实际取出的钱=本金+利息.到12月最后一天取款时:第1个月存款利息:100×12×0.165%,第2个月存款利息:100×11×0.165%,…第11个月存款利息:100×2×0.165%,第12个月存款利息:100×1×0.165%,所以S12=100×12×0.165%+100×11×0.165%+…+100×2×0.165%+100×1×0.165%=100×0.165%×(1+2+3+…+12)=100×0.165%× =12.87.所以实际取出100×12+12.87=1 212.87(元).
探究点二复利与等比数列模型【例2】 某大学教授年初向银行贷款20万元用于购房,银行贷款的年利息为10%,按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息).若这笔款要分10次等额还清,每年年初还一次,并且在贷款后次年年初开始归还,问每年应还多少万元?(参考数据:1.110≈2.594)
解 (方法一)设每年还款x万元,需10年还清,那么每年还款情况如下:第10年还款x万元,这次还款后欠款全部还清;第9年还款x万元,过一年欠款全部还清时,所付款连同利息之和为x(1+10%)万元;第8年还款x万元,过2年欠款全部还清时,所付款连同利息之和为x(1+10%)2万元;……第1年还款x万元,过9年欠款全部还清时,所付款连同利息之和为x(1+10%)9万元.依题意得x
2023-2024学年北师大版高中数学选择性必修第二册数列在日常经济生活中的应用 课件
