2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第3册 7.1.1　条件概率 学案

第七章　随机变量及其分布列 课程目标 能够结合具体实例，了解条件概率及其与独立性的关系，并能进行简单计算． 感悟离散型随机变量及其分布列的含义，知道可以通过随机变量更好地刻画随机现象． 理解伯努利试验，掌握二项分布，了解超几何分布． 感悟服从正态分布的随机变量，知道连续型随机变量． 基于随机变量及其分布解决简单的实际问题． 7.1 　条件概率与全概率公式 7.1.1 　条件概率 素养目标 · 定方向 学习目标 特别关注 1 ．结合古典概型，了解条件概率的概念，能计算简单随机事件的条件概率． 2 ．结合古典概型，了解条件概率与独立性的关系． 3 ．结合古典概型，会用乘法公式计算概率 . 重点： 条件概率的概念，事件的独立性与条件概率的关系，概率的乘法公式． 难点： 条件概率意义的理解． 核心素养： 数学建模、逻辑推理、数学运算 . 必备知识 · 探新知 　 知识点 1 　条件概率 (1) 定义：一般地，设 A ， B 为两个随机事件，且 P ( A )>0 ，我们称 _ P ( B | A ) ＝ __ 为在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的条件概率，简称条件概率． (2) 特例：当 P ( A )>0 时，当且仅当事件 A 与 B 相互独立时，有 P ( B | A ) ＝ P ( B ) ． 思考： P ( B | A ) 和 P ( A | B ) 的意义相同吗？为什么？ 提示： P ( B | A ) 是指在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率，而 P ( A | B ) 是指在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率，因此 P ( B | A ) 和 P ( A | B ) 的意义不同． 　 知识点 2 　概率的乘法公式 对任意两个事件 A 与 B ，若 P ( A ) ＞ 0 ，则 P ( AB ) ＝ P ( A )· P ( B | A ) ． 　 知识点 3 　条件概率的性质 设 P ( A )>0 ，则 (1) P ( Ω | A ) ＝ 1 ； (2) 如果 B 和 C 是两个互斥事件，则 P ( B ∪ C | A ) ＝ P ( B | A ) ＋ P ( C | A ) ； (3) 设 和 B 互为对立事件，则 P ( | A ) ＝ 1 － P ( B | A ) ． 　 知识点 4 　事件的相互独立性 (1) 事件 A 与事件 B 相互独立：对任意的两个事件 A 与 B ，如果 P ( AB ) ＝ P ( A )· P ( B ) 成立，则称事件 A 与事件 B 相互独立，简称为独立． (2) 性质：若事件 A 与事件 B 相互独立，则 A 与 ， 与 B ， 与 也都相互独立， P ( B | A ) ＝ P ( B ) ， P ( A | B ) ＝ P ( A ) ． 关键能力 · 攻重难 题型探究 题型一　利用定义求条件概率 典例 1 　浙江一高中生在进行高考选考科目 “ 7 选 3 ” 的选择时，结合自己的具体情况，暂时只确定技术作为自己的选考科目，另外 2 门准备随机抽取．已知在剩下的 6 门科目中有 3 门理科科目 ( 物理、化学、生物 ) 和 3 门文科科目 ( 政治、历史、地理 ) ，如果他从中依次抽取 2 门，求： (1) 第 1 次抽到理科科目的概率； (2) 第 1 次抽到理科科目且第 2 次抽到文科科目的概率； (3) 在第 1 次抽到理科科目的条件下，第 2 次抽到文科科目的概率； (4) 在第 1 次抽到理科科目的条件下，第 2 次抽到政治或地理的概率． [ 解析 ] 　 (1) 根据题意，从 6 个科目中依次抽取 2 门，该试验的样本空间 Ω 包含的样本点个数 n ( Ω ) ＝ A ＝ 30. 设 “ 第 1 次抽到理科科目 ” 为事件 A ，则 n ( A ) ＝ A × A ＝ 15 ， 于是 P ( A ) ＝ ＝ ＝ . (2) 设 “ 第 2 次抽到文科科目 ” 为事件 B ，则 “ 第 1 次抽到理科科目且第 2 次抽到文科科目 ” 为事件 AB ， n ( AB ) ＝ A × A ＝ 9 ，所以 P ( AB ) ＝ ＝ ＝ . (3) 方法一 ( 定义法 ) ： P ( B | A ) ＝ ＝ ＝ . 方法二 ( 基本事件法 ) ： P ( B | A ) ＝ ＝ ＝ . (4) 设 “ 第 2 次抽到政治 ” 为事件 C ， “ 第 2 次抽到地理 ” 为事件 D ，则 P ( C ∪ D | A ) ＝ P ( C | A ) ＋ P ( D | A ) ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ . [ 规律方法 ] 　 求条件概率 P ( B | A ) 的步骤 方法一 ( 定义法 ) ： (1) 分析题意，弄清概率模型； (2) 计算 P ( A ) ， P ( AB ) ； (3) 代入公式 P ( B | A ) ＝ 求 P ( B | A ) ． 方法二 ( 基本事件法 ) ： (1) 分析题意，弄清概率模型； (2) 对于古典概型，分别计算 A 事件包含的样本点个数， AB 事件包含的样本点个数； (3) 由条件概率的计算公式 P ( B | A ) ＝ 得出所求概率． 【对点训练】 ❶ 盒内装有除型号和颜色外完全相同的 16 个球，其中 6 个是 E 型玻璃球， 10 个是 F 型玻璃球． E 型玻璃球中有 2 个是红色的， 4 个是蓝色的； F 型玻璃球中有 3 个是红色的， 7 个是蓝色的．现从中任取 1 个，已知取到的是蓝球，问该球是 E 型玻璃球的概率是多少？ [ 解析 ] 　 (1) 令事件 A ＝ { 取得蓝球 } ， B ＝ { 取得蓝色 E 型玻璃球 } ． 解法一： ∵ P ( A ) ＝ ， P ( A ∩ B ) ＝ ＝ ， ∴ P ( B | A ) ＝ ＝ ＝ . 解法二： ∵ n ( A ) ＝ 11 ， n ( A ∩ B ) ＝ 4 ， ∴ P ( B | A ) ＝ ＝ . 题型二　概率的乘法公式 典例 2 　 (1) 已知 P ( A ) ＝ 0.4 ， P ( B ) ＝ 0.5 ， P ( A | B ) ＝ 0.6 ，则 P ( B | A ) ＝ _ 0.75 __ ； (2) 某市场供应的灯泡中，甲厂产品占 70% ，乙厂产品占 30% ，甲厂产品的合格率是 95%