网络体系构建【答案速填】①P(B|A)=②P(B)=P(Ai)P(B|Ai)③E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn=xipi④D(X)=(xi-E(X))2pi⑤P(X=k)=pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n⑥P(X=k)=,k=m,m+1,m+2,…,r
易错案例警示易错点1:忽视概率的性质【案例1】下列表格可以作为ξ的分布列的是 ( )A. B.ξ013Pa1-aξ013Pa1-aξ123P-1ξ123P1C. D.ξ45P01ξ-112P2aa2+2ξ-112P2aa2+2
【解析】选C.根据分布列的性质0≤P≤1以及各概率之和等于1,在A中,各概率之和为>1,故A错误;在B中,-<0,故B错误;在C中,满足分布列的性质0≤P≤1以及各概率之和等于1,故C正确;在D中,+2a+a2+2=(a+1)2+>1,故D错误.
【易错分析】忽视了Pi=1(i=1,2,3,…,n)这一性质.【避错警示】利用分布列的性质求解概率问题时,概率的两条性质Pi≥0(i=1,2,3,…,n);Pi=1缺一不可.
易错点2:求解概率问题时忽略了逻辑联结词【案例2】“蛟龙号”载人潜水器执行某次任务时从海底带回来某种生物.甲乙两个生物小组分别独立开展对该生物离开恒温箱的成活情况的研究,每次试验一个生物,甲小组能使生物成活的概率为,乙小组能使生物成活的概率为,假定试验后生物成活,则称该次试验成功,如果生物不成活,则称该次试验失败.(1)甲小组做了三次试验,求至少两次试验成功的概率;(2)如果乙小组成功了4次才停止试验,求乙小组第四次成功前共有三次失败,且恰有两次连续失败的概率;(3)若甲乙两小组各进行2次试验,记试验成功的总次数为随机变量X,求X的概率分布与数学期望E(X).
【解析】(1)记至少两次试验成功为事件A,则P(A)=×+=;(2)由题意知,乙小组第四次成功前共进行了6次试验,其中三次成功三次失败,且恰有两次连续失败,共有=12种情况.记乙小组第四次成功前共有三次失败,且恰有两次连续失败为事件B,则P=12×=;
(3)X的所有可能取值为0,1,2,3,4.P===,P=×××+×××==,P=+××××+=,P=×××+×××==,P==,所以X的分布列为 X01234PX01234P数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×+4×=.
【易错分析】对题目中含有“至少”“恰有”理解有误,分析不透彻致误.【避错警示】准确把握逻辑词“至少”“恰有”的含义,特别是“乙小组成功了4次才停止试验,求乙小组第四次成功前共有三次失败,且恰有两次连续失败”的理解,来确定事件发生的次数和事件发生的概率.
易错点3:求随机变量的均值和方差时用错公式【案例3】某人有5把钥匙,其中只有一把能打开某一扇门,今任取一把试开,不能打开则除去,求打开此门所需试开的次数X的均值和方差.【解析】X为打开此门所需的试开次数,则X的可能取值为1,2,3,4,5.X=k表示前k-1次没打开此门,第k次才打开了此门.P(X=1)=,P(X=2)=·=,P(X=3)=·=,P(X=4)=·=,P(X=5)=·1=,故随机变量X的分布列为 X12345PX12345PE(X)=1×+2×+3×+4×+5×=3,D(X)=(1-3)2×+(2-3)2×+(3-3)2×+(4-3)2×+(5-3)2×=2.
【易错分析】易把试验类型当成二项分布致错.【避错警示】从5把钥匙中取一把试开房门,若不能打开,则除去这把后,第二次试开就只有4把钥匙了.其次理解错了X=k的含义,X=k是前k-1次没有打开房门,而第k次打开了房门.
易错点4:忽视正态分布的特点【案例4】已知随机变量X~N(2,σ2),P(X<4)=0.92,则P(0<X<4)= ( )A.0.16 B.0.68C.0.92 D.0.84【解析】选D.因为随机变量X服从正态分布N(2,σ2),所以μ=2,因为P(X<4)=0.92,所以P(X>4)=1-0.92=0.08,所以P(X<0)=P(X>4)=1-P(X<4)=0.08,所以P(0<X<4)=1-P(X<0)-P(X>4)=1-0.08-0.08=0.84.
【易错分析】理解正态曲线的对称性有助于解决随机变量在有关区间的概率问题,忽视这一点,解题时容易出错.同时正确理解正态分布中μ,σ的意义也有助于解题.【避错警示】求正态分布中随机变量满足某区间的概率问题,要准确理解正态曲线的对称性,画出图形,将条件与所求问题在图形中建立联系是避免失误的关键.
易错点5:多种概率模型的综合应用【案例5】为评估设备M生产某种零件的性能,从设备M生产零件的流水线上随机抽取100个零件作为样本,测量其直径后,整理得到下表:直径/mm5859616263646566个数11356193318直径/mm676869707173合计个数442121100
经计算,样本直径的平均值μ=65,标准差σ=2.2,以频率值作为概率的估计值.(1)为评判一台设备的性能,从该设备加工的零件中任意抽取一件,记其直径为X,并根据以下不等式进行评判(P表示相应事件的概率):①P(μ-σ<X≤μ+σ)≥0.682 7;②P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≥0.954 5;③P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≥0.997 3.评判规则为:若同时满足上述三个不等式,则设备等级为甲;若仅满足其中两个,则等级为乙;若仅满足其中一个,则等级为丙;若全部都不满足,则等级为丁,试判断设备M的性能等级.(2)将直径小于等于μ-2σ或直径大于μ+2σ的零件认为是次品.①从设备M的生产流水线上随机抽取2件零件,计算其中次品件数Y的数学期望E(Y);②从样本中随机抽取2件零件,计算其中次品件数Z的数学期望E(Z).
【解析】(1)P(μ-σ<X≤μ+σ)=P(62.8<X≤67.2)=0.8>0.682 7,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=P(60.6<X≤69.4)=0.94<0.954 5,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=P(58.4<X≤
2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第三册 第七章随机变量及其分布阶段复习课 课件
