专题11 立体几何（高考真题分类汇编）-十年（2012-2021）高考数学真题分项详解（全国通用）

专题 11 立体几何 【 202 1 年】 1 ．（ 2021 年全国高考乙卷数学（文）试题 ）在正方体 中， P 为 的中点，则直线 与 所成的角为（ ） A ． B ． C ． D ． 2 ．（ 2021 年全国高考甲卷数学（理）试题 ） 2020 年 12 月 8 日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为 8848.86 （单位： m ），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有 A ， B ， C 三点，且 A ， B ， C 在同一水平面上的投影 满足 ， ．由 C 点测得 B 点的仰角为 ， 与 的差为 100 ；由 B 点测得 A 点的仰角为 ，则 A ， C 两点到水平面 的高度差 约为（ ）（ ） A ． 346 B ． 373 C ． 446 D ． 473 3 ．（ 2021 年全国高考甲卷数学（理）试题 ）已如 A ， B ， C 是半径为 1 的球 O 的球面上的三个点，且 ，则三棱锥 的体积为（ ） A ． B ． C ． D ． 4 ．（ 2021 年全国新高考 Ⅰ 卷数学试题 ）已知圆锥的底面半径为 ，其侧面展开图为一个半圆，则 该圆锥的母线长为（ ） A ． B ． C ． D ． 二、填空题 5 ． （ 2021 年全国高考甲卷数学（文）试题 ）已知一个圆锥的底面半径为 6 ，其体积为 则该圆锥的侧面积为 ________. 三、解答题 6 ．（ 2021 年全国高考乙卷数学（文）试题 ）如图，四棱锥 的底面是矩形， 底面 ， M 为 的中点，且 ． （ 1 ）证明： 平面 平面 ； （ 2 ）若 ，求四棱锥 的体积． 7 ．（ 2021 年全国高考乙卷数学（理）试题 ）如图，四棱锥 的底面是矩形， 底面 ， ， 为 的中点，且 ． （ 1 ）求 ； （ 2 ）求二面角 的正弦值． 8 ．（ 2021 年全国高考甲卷数学（文）试题 ）已知直三棱柱 中，侧面 为正方形， ， E ， F 分别为 和 的中点， . （ 1 ）求三棱锥 的体积； （ 2 ）已知 D 为棱 上的点，证明： . 9 ．（ 2021 年全国高考甲卷数学（理）试题 ）已知直三棱柱 中，侧面 为正方形， ， E ， F 分别为 和 的中点， D 为棱 上的点． （ 1 ）证明： ； （ 2 ）当 为何值时，面 与面 所成的二面角的正弦值最小 ? 10 ．（ 2021 年全国新高考 Ⅰ 卷数学试题 ）如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， ， 为 的中点 . （ 1 ）证明： ； （ 2 ）若 是边长为 1 的等边三角形，点 在棱 上， ，且二面角 的大小为 ，求三棱锥 的体积 . 【 20 12 年 —— 2020 年 】 1 ．（ 2020 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标 Ⅰ ） ）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ） A ． B ． C ． D ． 2 ． （ 2020 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标 Ⅰ ） ）已知 为球 的球面上的三个点， ⊙ 为 的外接圆，若 ⊙ 的面积为 ， ，则球 的表面积为（ ） A ． B ． C ． D ． 3 ．（ 2020 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标 Ⅱ ） ）已知 △ ABC 是面积为 的等边三角形，且其顶点都在球 O 的球面上 . 若球 O 的表面积为 16 π ，则 O 到平 面 ABC 的距离为（ ） A ． B ． C ． 1 D ． 4 ．（ 2019 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标 Ⅰ ） ）已知三棱锥 P - ABC 的四个顶点在球 O 的球面上， PA = PB = PC ， △ ABC 是边长为 2 的正三角形， E ， F 分别是 PA ， AB 的中点， ∠ CEF =90° ，则球 O 的体积为 A ． B ． C ． D ． 5 ．（ 2019 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标 Ⅱ ） ）设 α ， β 为两个平面，则 α ∥ β 的充要条件是 A ． α 内有无数条直线与 β 平行 B ． α 内有两条相交直线与 β 平行 C ． α ， β 平行于同一条直线 D ． α ， β 垂直于同一平面 6 ．（ 2019 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标 Ⅲ ） ）如图，点 为正方形 的中心， 为正三角形，平面 平面 是线段 的中点，则 A ． ，且直线 是相交直线 B ． ，且直线 是相交直线 C ． ，且直线 是异面直线 D ． ，且直线 是异面直线 7 ．（ 2018 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标 I 卷） ） 已知圆柱的上、下底面的中心分别为 ， ，过直线 的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形，则该圆柱的表面积为 A ． B ． C ． D ． 8 ．（ 2018 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标 I 卷） ）在长方体 中， ， 与平面 所成的角为 ，则该长方体的体积为 A ． B ． C ． D ． 9 ．（ 2018 年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷 II ） ） 在长方体 中， ， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为 A ． B ． C ． D ． 10 ．（ 2018 年全国卷 Ⅲ 理数高考试题 ） 设 是同一个半径为 4 的球的球面上四点， 为等边三角形且其面积为 ，则三棱锥 体积的最大值为 A ． B ． C ． D ． 11 ．（ 2 017 年全国普通高等学校招生统一考试 ）如图，在下列四个正方体中， 、 为正方体的两个顶点， 、 、 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 与平面 不平行的是（　　） A ． B