知识梳理·自主探究师生互动·合作探究
知识梳理·自主探究知识探究问题1:在频率分布直方图中,随着组距的增多其形状会越来越像一条钟形曲线,那么这条曲线是否存在函数解析式呢?提示:存在.随着组距的无限增加,得到的曲线为随机变量X的分布密度曲线,曲线对应的函数称为X的分布密度函数.
正态分布正态曲线(2)若随机变量X服从正态分布,那么这个正态分布完全由参数μ,σ(σ>0)确定,记为 .其中EX= ,DX= .(3)正态曲线的性质.①非负性:对∀x∈R,f(x)>0,它的图象在x轴的 .②对称性:曲线是单峰的,它关于直线 对称.X～N(μ,σ2) μσ2上方x=μ
x=μ④当|x|无限增大时,曲线无限接近 轴.⑤当 一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着 的变化而沿x轴平移,如图a.⑥当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ较小时曲线“瘦高”,表示总体的分布比较集中;σ较大时,曲线“矮胖”,表示总体的分布比较分散,如图b.xσμ
思考1:正态分布的几何意义是什么呢?提示:正态分布的特点:如果一个随机变量X服从正态分布,那么对于任何实数a,b(a<b),随机变量X在区间(a,b]的概率P(a<X≤b)的几何意义就是随机变量X的分布密度曲线在区间(a,b]对应的曲边梯形面积的值(如图).且曲线与x轴之间的面积为1.
问题2:经验表明,一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用的结果之和,它就服从或近似服从正态分布.在现实生活中,很多随机变量都服从或近似地服从正态分布.某设备在正常运行时,生产的某产品的厚度为 100 mm.当检查员随机抽取一个产品,测得其厚度为X=104 mm,他想要求工人停止生产,检查设备,那么他需要考查哪些参数呢?提示:需要考查这个设备生产的产品厚度的均值和标准差.
2.3σ原则若X～N(μ,σ2),则P(μ-σ<X≤μ+σ)≈ , P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈ , P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈ . 随机变量X在区间(μ-3σ,μ+3σ]外取值的概率只有约0.3％,认为是小概率事件.通常认为服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取区间 之间的值,并称之为3σ原则.思考2:问题2中,检查员考查该产品的均值为100 mm,标准差为1 mm,他有理由要求工人停止生产,检查设备吗?提示:有理由.因为X～N(100,1),即产品厚度在(97,103]之间的概率约为0.997 4,但是抽取产品的厚度为104 mm,说明设备运行可能不正常,所以有理由要求工人停止生产,检查设备.0.682 60.954 40.997 4(μ-3σ,μ+3σ]
师生互动·合作探究探究点一正态曲线及其性质
方法总结利用正态曲线的特点求参数μ,σ(1)正态曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称,由此特点结合图象求出μ.
解析:正态曲线关于x=μ对称,且μ越大图象越靠近右边,所以μ1<μ2=μ3,B,C错误;又σ越小数据越集中,图象越瘦长,所以σ1=σ2<σ3,A,D正确.故选AD.
探究点二利用正态分布的性质求概率
方法总结利用正态分布求概率的两种方法(1)对称法:由于正态曲线是关于直线x=μ对称的,且概率的和为1,故关于直线x=μ对称的区间上概率相等.如:①P(X<a)=1-P(X≥a);②P(X<μ-a)=P(X>μ+a).(2)“3σ”法:利用X落在区间(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)内的概率分别是0.682 6,0.954 4,0.997 4求解.
[针对训练] (1)(2021·北京高二期末)若X～N(1,σ2),则P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682 7,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.954 5,已知X～N(1,32),则 P(4<X≤7)等于( )A.0.407 7 B.0.271 8C.0.135 9 D.0.045 3
[例3] (2021·广东广雅中学月考)正态分布有极其广泛的实际背景,生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述.例如,同一种生物体的身长、体重等指标.为了调查某水库的环境保护情况,在水库中随机捕捞了100条鱼称重.经整理分析后发现,鱼的重量x(单位:kg)近似服从正态分布x～N(2,σ2),如图所示,已知P(x<0.5)=0.04,P(x≤1.5)=0.26.(1)若从水库中随机捕捞一条鱼,求鱼的重量在[2.5,3.5]内的概率;探究点三正态分布的应用
[例3] (2021·广东广雅中学月考)正态分布有极其广泛的实际背景,生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述.例如,同一种生物体的身长、体重等指标.为了调查某水库的环境保护情况,在水库中随机捕捞了100条鱼称重.经整理分析后发现,鱼的重量x(单位:kg)近似服从正态分布x～N(2,σ2),如图所示,已知P(x<0.5)=0.04,P(x≤1.5)=0.26.(2)从捕捞的100条中随机挑出6条鱼测量体重,若将选剩下的94条鱼称重微标记后立即放生,两周后又随机捕捞1 000条鱼,发现其中带有标记的有2条.为了调整生态结构,促进种群的优化,预备捕捞体重在[2.5,3.5]内的鱼的总数的40%进行出售,试估算水库中鱼的条数以及应捕捞体重在[2.5,3.5]内的鱼的条数.
变式探究:(2021·吉林白城期末)某车间生产一批零件,现从中随机抽取10个零件,测量其内径的数据如下(单位:cm).87 87 88 92 95 97 98 99 103 104设这10个数据的平均值为μ,标准差为σ.(1)求μ与σ;
变式探究:(2021·吉林白城期末)某车间生产一批零件,现从中随机抽取10个零件,测量其内径的数据如下(单位:cm).87 87 88 92 95 97 98 99 103 104设这10个数据的平均值为μ,标准差为σ.(2)假设这批零件的内径Z(单
2023-2024学年湘教版高中数学选择性必修第二册正态分布课件
