1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）与正整数<m></m>有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．() ×（2）数学归纳法的第一步<m></m>的初始值一定为1.() ×（3） 数学归纳法的两个步骤缺一不可． ( )√
2.用数学归纳法证明：首项是<m></m>，公差是<m></m>的等差数列的前<m></m>项和公式是<m></m>，假设当<m></m>时，公式成立，则<m></m>(). A.<m></m>B.<m></m>C.<m></m>D.<m></m> [解析]假设当<m></m>时，公式成立，只需把公式中的<m></m>换成<m></m>即可，即<m></m>. √
3.用数学归纳法证明：<m></m>，假设当<m></m>时，不等式成立，则当<m></m>时，应推证的目标不等式是___________________________________． <m></m>. 4.用数学归纳法证明等式“<m></m>”，第一步验证当<m></m>时，左边应取的项是_____________． <m></m> [解析]当<m></m>时，左边<m></m>.
探究1 用数学归纳法证明等式问题：你能用数学归纳法证明等式<m></m>吗？
[答案]（1）当<m></m>时，左边<m></m>，右边<m></m>，左边＝右边，等式成立．（2）假设当<m></m>时等式成立，即<m></m>，那么当<m></m>时，<m></m>，即当<m></m>时,等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式对任何<m></m>都成立．
新知生成用数学归纳法证明恒等式时，一是弄清<m></m>取第一个值<m></m>时等式两端项的情况；二是弄清从<m></m>到<m></m>等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明<m></m>时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝<m></m>证明目标的表达式变形.
新知运用例1用数学归纳法证明“<m></m>”，则当<m></m>时，应当在<m></m>时对应的等式的左边加上(). A.<m></m>B.<m></m>C.<m></m>D.<m></m> 方法指导先确定当<m></m>时等式左端的代数式，再确定当<m></m>时等式左端的代数式，进而确定其应当在<m></m>时对应的等式的左边加上的代数式． √
[解析]当<m></m>时，等式左端<m></m>，当<m></m>时，等式左端<m></m>.故选A.
证明：<m></m>． [解析]①当<m></m>时，左边<m></m>，右边<m></m>，等式成立．②假设当<m></m>时等式成立，即<m></m>，那么，当<m></m>时，<m></m><m></m><m></m>．根据①和②，可知等式对任何<m></m>都成立．
探究2 用数学归纳法证明不等式问题：用数学归纳法证明不等式<m></m>（<m></m>且<m></m>）时，第一步要证的不等式是什么？ [答案]当<m></m>时，左边<m></m>，右边<m></m>，故第一步要证的不等式是<m></m>．
新知生成 用数学归纳法证明不等式的四个关键（1）验证第一个<m></m>的值时，要注意<m></m>不一定为1，若<m></m>（<m></m>为正整数），则<m></m>． （2）证明不等式的第二步中，从<m></m>到<m></m>的推导过程中，一定要用到归纳假设，不运用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设． （3）用数学归纳法证明与<m></m>有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小.第二类形式往往要先对<m></m>取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个<m></m>值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明．
（4）用数学归纳法证明不等式的关键是由<m></m>时成立得出<m></m>时也成立，主要方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等．
新知运用例2已知正项数列<m></m>中，<m></m>，<m></m>，用数学归纳法证明：<m></m>． 方法指导直接利用数学归纳法的证明步骤，通过<m></m>验证不等式成立，假设<m></m>时不等式成立，证明<m></m>时不等式也成立即可．
[解析]①当<m></m>时，<m></m>，<m></m>，所以当<m></m>时，不等式成立；②假设<m></m>时，<m></m>成立，则当<m></m>时，<m></m><m></m><m></m>，所以当<m></m>时，不等式成立．由①和②可知，不等式<m></m>成立．
用数学归纳法证明：<m></m>． [解析]①当<m></m>时，<m></m>，不等式成立．②假设当<m></m>（<m></m>，且<m></m>）时,不等式成立，即<m></m>．当<m></m>时，<m></m>，不等式成立．由①和②知，原不等式在<m></m>，<m></m>时均成立．
探究3 “归纳—猜想—证明”问题设<m></m>，<m></m>，令<m></m>，<m></m>． 问题1：写出<m></m>，<m></m>，<m></m>的值，并猜想数列<m></m>的通项公式.
[答案]因为<m></m>，所以<m></m>；<m></m>；<m></m>．猜想：<m></m>．
问题2：用数学归纳法证明你的结论．[答案]①易知，当<m></m>时，猜想正确．②假设当<m></m>时猜想正确，即<m></m>，则当<m></m>时，<m></m>，所以当<m></m>时猜想正确．由①②知，对于任何<m></m>，都有<m></m>．
新知生成 “归纳—猜想—证明”的一般步骤
新知运用例3设数列<m></m>满足<m></m>． （1）当<m></m>时，求<m></m>，<m></m>，<m></m>，并由此猜想出<m></m>的一个通项公式.（2）当<m></m>时，证明：对所有的<m></m>，有<m></m>． 方法指导（1）先根据条件求<m></m>,<m></m>,<m></m>,<m></m>，再猜想数列的通项公式；（2）用数学归纳法证明．
[解析]（1）由<m></m>，得<m></m>,
2023-2024学年高中数学北师大版选择性必修第二册 _§5 数学归纳法 (课件)
