知识梳理1.指数函数(1)定义：给定正数a，且a≠1时，____是一个定义在实数集上的函数，称为指数函数.(2)性质：①定义域是R，函数值大于__；②图象过定点(0，1).y=ax0
思考为什么指数函数的底数a>0，且a≠1？当a=0，a=1，a<0时，对自变量x的取值有何影响?提示：(1)如果a=0，当x>0时，ax恒等于0,没有研究的必要；当x≤0时，ax无意义.(2)如果a<0，例如y=(-4)x，这时对于x=，，…，该函数无意义.
(3)如果a=1，则y=1x是一个常量，没有研究的价值.为了避免上述各种情况，所以规定a>0，且a≠1.
2.指数函数y=ax (a>1)的图象和性质(1)单调性：在R上是___函数.当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于_________；当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于__.正无穷大0增
(2)函数y=ax和y=bx(a>b>1)的关系.图象 大小①当x<0时，0<ax<bx<1；②当x=0时，ax=bx=1；③当x>0时，ax>bx>1.
3.指数函数y=ax(0<a<1)的图象和性质(1)单调性：在R上是___函数.当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于__；当x值趋近于负无穷大时，函数值趋近于_________.减0正无穷大
(2)函数y=ax和y=bx(0<a<b<1)的关系.图象 大小①当x<0时，_______；②当x=0时，ax=bx=1；③当x>0时，_________.ax>bx>10<ax<bx<1
4.指数函数的图象和性质0<a<1a>1图象 性质(1)定义域：R(2)值域：(0，+∞)(3)过定点______，即x=0时，y=__(4)当x<0时，____；当x>0时，______(4)当x<0时，______；当x>0时，____(5)___函数(5)___函数(0,1)1y>10<y<10<y<1y>1减增
基础小测1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)y=x4是指数函数. ( )(2)指数函数的图象都在x轴的上方. ( )(3)函数y=3x的图象在函数y=2x图象的上方. ( )
提示：(1)×.y=x4不是指数函数，指数函数的底数是常数.(2)√.由指数函数的图象可知，图象都在x轴的上方.(3)×.由y=3x，y=2x的图象可知，当x<0时,函数y=3x的图象在函数y=2x图象的下方.
2.函数y=4-x的图象是 ( ) 【解析】因为y=4-x= ，故图象为B.【答案】B
3.若0.2m-1<0.008，则实数m的取值范围是 . 【解析】因为0.2m-1<0.008，所以0.2m-1<0.23，所以m-1>3，m>4.【答案】(4，+∞)
关键能力·合作学习类型一 指数函数的相关概念(数学抽象)题组训练1.若函数f(x)=(a2-2a-2)ax是指数函数，则a的值是 ( ) A.-1 B.3 C.3或-1 D.22.已知函数f(x)为指数函数，且f()=，则f(-2)= . 3.函数y=的定义域为 .
1.【解析】因为函数f(x)=(a2-2a-2)ax是指数函数，所以a2-2a-2=1且a>0，a≠1，解得a=3.【答案】B2.【解析】设f(x)=ax(a>0且a≠1)，由f()=得，=，所以a=3，又f(-2)=a-2，所以f(-2)=3-2=.【答案】
3.【解析】因为函数有意义，所以x2+2x-8≥0，解得x≤-4或x≥2，所以函数的定义域为{x|x≤-4或x≥2}【答案】{x|x≤-4或x≥2}
解题策略1.判断一个函数是指数函数方法(1)判断的依据是指数函数的定义，即函数解析式的结构特征；(2)有些函数需要对解析式变形后判断，如y==是指数函数.
2.求指数函数解析式的步骤(1)设指数函数的解析式为f(x)=ax(a>0且a≠1).(2)利用已知条件求底数a.(3)写出指数函数的解析式.
补偿训练指数函数f(x)=ax的图象经过点(2，4)，则f(-3)的值是 . 【解析】由题意知4=a2，a>0且a≠1，所以a=2，因此f(x)=2x，故f(-3)=2-3= .【答案】
类型二 利用指数函数的单调性比较大小(逻辑推理、数学运算)典例比较下列各数的大小.(1)0.6-1.2和0.6-1.5；(2)40.9，80.61和.
解：(1)因为函数y=0.6x在R上是减函数，且-1.2>-1.5，所以0.6-1.2<0.6-1.5.(2)40.9=21.8，80.61=23×0.61=21.83，=21.5，因为y=2x在R上是增函数，所以21.83>21.8>21.5，即80.61>40.9>.
解题策略比较幂的大小的方法1.同底数幂比较大小时构造指数函数，根据其单调性比较.能化成同底数幂的先化同底数幂，再比较；2.当底数不同时可以借助图象，利用图象之间的关系比较.
跟踪训练比较下列两个数的大小.，解：因为指数函数y=在R上是减函数，且0.3<0.5，所以.
类型三 指数函数性质的简单应用(直观想象、逻辑推理)角度1 解不等式(方程) 典例1.不等式<2-2x的解集是________. 2.已知方程42x-3=128，求实数x的值.
1.【解析】因为<2-2x，所以<,因为y=在R上是减函数，所以x2-3>2x，解得x>3或x<-1，所以不等式的解集是{x|x>3或x<-1}.【答案】{x|x>3或x<-1}2.解：因为42x-3=24x-6，128=27，所以4x-6=7，解得x=.
变式探究将本例1中的不等式变为<<a2x(a>0，且a≠1).试求不等式的解集.解：当0<a<1时，y=ax在R上是减函数,所以x2-3>2x，解得x>3或x<-1,所以不等式的解集是{x|x>3或x<-1}.当a>1时，y=ax在R上是增函数，x2-3<2x，解得-1<x<3，不等式的解集是{x|-1<x<3}.
角度2 简单的值域问题 典例函数y=，x∈[1,+∞)的值域为__________. 【解析】函数y==·，因为函数y=是R上的减函数，所以函数y=，x∈[1，+∞)的值域为(0，].【答案】(0，]
解题策略1.关于解与指数相关的不等式(方程)底数不同的先要化同底，底数统一后直接利用单调性转化为一元一次、一元二次不等式(方程)求解，
2023-2024学年北师大版必修第一册 指数函数的概念和图象 (课件)
