2023-2024学年人教A版高中数学必修第二册 6.2.3 向量的数乘运算 课件

6.2.3　向量的数乘运算 课程标准1.了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义．2．理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的数乘运算．3．理解并掌握两向量共线的性质及判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题． 新知初探·课前预习题型探究·课堂解透 新知初探·课前预习 教 材 要 点要点一　向量的数乘定义实数λ与向量a的积是一个________记法λa❶长度|λa|＝|λ||a|方向λ＞0方向与a的方向________λ＜0方向与a的方向________向量相同相反 要点二　向量的线性运算设λ，μ为任意实数(1)λ(μa)＝________；❷(2)(λ＋μ)a＝________；(3)λ(a＋b)＝________．特别地，(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝________ .向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝__________．要点三　共线向量定理向量a(a≠0❸)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝________．(λμ)aλa＋μaλa＋λbλa－λbλμ1a±λμ2bλa 助学批注批注❶　(1)λ中的实数λ叫做向量的系数．(2)当λ＝0时，λ＝.当λ≠0时，若＝，也有λ＝.批注❷　向量数乘运算律与实数乘法运算律很相似，只是向量数乘分配律由于因子的不同，可分为(λ＋μ)＝λ＋μ和λ()＝λ＋λ.批注❸　定理中≠不能去掉．若＝＝，则实数λ可以是任意实数；若＝≠，则不存在实数λ，使得＝λ.  夯 实 双 基　1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)对于任意的向量a，总有0·a＝0.(　　)(2)当λ＞0时，|λa|＝λa.(　　)(3)若a≠0，λ≠0，则a与－λa的方向相反．(　　)(4)向量－8a(a≠0)的模是向量4a的模的2倍．(　　)×××√ 2．3(2a－4b)＝(　　)A.5a＋7b B．5a－7bC.6a＋12b D．6a－12b答案：D解析：3(2a－4b)＝6a－12b.故选D. 3．点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是(　　)A.＝3B．＝2C.＝D．＝2 答案：D解析：由题意可知：＝－3；＝－2＝2.故只有D正确．故选D.  4．如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＝λ，则λ＝________． 2解析：由向量加法的平行四边形法则知＝，又∵O是AC的中点，∴AC＝2AO，∴＝2，∴＝2，∴λ＝2.  题型探究·课堂解透 题型 1　向量的线性运算例1　(1)化简：；(2)若3m＋2n＝a，m－3n＝b，其中a，b是已知向量，求m，n.  解析：(1)＝(3a－2b＋5a－2a＋3b)＝(6a＋b)＝3a＋b.(2)把已知中的两个等式看成关于m，n的方程，联立得方程组解得  题后师说向量线性运算的两种方法 巩固训练1　(1)(2a＋8b)－(4a－2b)＝(　　)A．－3a－6b　　　B．6b－3aC．2b－3a　D．3a－2b 答案：B解析：原式＝a＋4b－4a＋2b＝6b－3a. (2)已知向量x，y满足3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，则x＝________，y＝________(用a，b表示)．3a＋2b4a＋3b解析：由已知得①×3＋②×2得x＝3a＋2b，①×4＋②×2，得y＝4a＋3b.所以x＝3a＋2b，y＝4a＋3b.  题型 2　用已知向量表示未知向量例2　如图，四边形ABCD中，已知＝2.(1)用表示；(2)若＝2＝，用表示. 解析：(1)因为＝，所以＝＝；(2)因为＝＝＝)，所以＝＝＝.  题后师说用已知向量表示其他向量的两种方法 巩固训练2　(1)如图所示，▱ABCD中，E是BC的中点，若＝a，＝b，则＝(　　)A．a－b　　　　B．a＋bC．a＋bD．a－b 答案：D解析：＝＝＋(－)＝＝a－b.故选D.  (2) 如图所示，已知▱ABCD的边BC，CD的中点分别为K，L，且＝e1，＝e2，试用e1，e2表示.  解析：设＝x，则＝x，＝e1－x，＝＝＝e1－x.由＝，得x＋e1－x＝e2，解方程得x＝e2－e1，即＝e2－e1.由＝－＝e1－x，得＝x－e1＝－e1＝－e1＋e2.  题型 3　向量共线定理的应用角度1　三点共线的判断或证明例3　已知e1，e2是两个不共线的向量，若＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，求证：A，B，D三点共线．  证明：∵＝e1＋3e2，＝2e1－e2，∴＝＝e1－4e2.又＝2e1－8e2＝2(e1－4e2)，∴＝2，∴∥.∵AB与BD有公共点B，∴A，B，D三点共线．  题后师说证明或判断三点共线的策略 巩固训练3　[2022·湖南长郡中学高一期末]已知a，b为不共线的非零向量，＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3a－3b，则(　　)A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线 答案：B解析：由于a，b为不共线的非零向量，向量，向量显然没有倍数关系，根据向量共线定理，它们不共线，A，C选项错误；＝＝a＋5b＝，于是A，B，D三点共线，B选项正确；又＝＝－a＋13b，显然和也没有倍数关系，D选项错误．故选B.  角度2　利用向量共线求参数例4　设两个不共线的向量e1，e2，若向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，向量c＝2e1－9e2，问是否存在这样的实数λ，μ，使向量d＝λa＋μb与向量c共线？ 解析：∵d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(3μ－3λ)e2，要使d与c共线，则存在实数k使d＝kc，即：(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2.由得λ＝－2μ，故存在这样的实数λ和μ，只要λ＝－2μ，就能使d与c共线．  题后师说利用向量共线求参数的方法判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ，使得a＝λb(b≠0)．而已知向量共线求λ，常根