6.2.4 向量的数量积
课程标准1.理解平面向量的数量积的定义．2．了解投影向量的概念．3．掌握向量数量积的性质及其运算律，并会应用．
新知初探·课前预习题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
教材要点要点一 两向量的夹角与垂直1．夹角：已知两个________向量a和b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则________＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角❶(如图所示)．当θ＝0时，a与b________；当θ＝π时，a与b________．2．垂直：如果a与b的夹角是________，则称a与b垂直，记作a⊥b. 非零∠AOB同向反向
要点二 向量数量积的定义已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量__________叫做向量a与b的数量积❷(或内积)，记作a·b，即a·b＝__________(θ为a，b的夹角)．规定：零向量与任一向量的数量积为________．要点三 投影向量在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则________就是向量a在向量b上的投影向量． 设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝__________． |a||b|cos θ|a||b|cos θ0OM1|a|cos θ e
要点四 向量数量积的性质设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则(1)a·e＝e·a＝________．(2)a⊥b⇔________．(3)当a与b同向时，a·b＝__________；当a与b反向时，a·b＝________．特别地，a·a＝________或|a|＝________．(4)|a·b|________|a||b|.要点五 平面向量数量积的运算律❸(1)a·b＝________(交换律)．(2)(λa)·b＝________＝a·(λb)(结合律)．(3)(a＋b)·c＝________(分配律)．|a|cos θa·b＝0|a||b|－|a||b||a|2 ≤b·aλ(a·b)a·c＋b·c
助学批注批注❶ 按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示．∠BAC不是向量与向量的夹角，∠BAD才是向量与向量的夹角．
批注❷ (1)“·”是数量积的运算符号，既不能省略不写，也不能写成“×”；(2)数量积的结果为数量，不再是向量；(3)向量数量积的正负由两个向量的夹角θ决定：当θ是锐角时，数量积为正；当θ是钝角时，数量积为负；当θ是直角时，数量积等于零．批注❸ 数量积的运算只适合交换律、加乘分配律及数乘结合律，但不适合乘法结合律，即(·)不一定等于 (·)．这是由于(·)表示一个与共线的向量，而 (·)表示一个与共线的向量，只要与不共线，(·)与 (·)就不相等．
夯 实 双 基 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)两向量的数量积仍是一个向量．( )(2)设非零向量a与b的夹角为θ，则cos θ＞0⇔a·b＞0.( )(3)对于向量a，b，若a·b＝0，则a＝0或b＝0.( )(4)对于任意向量a，b，总有(a·b)2＝a2·b2.( )×√××
2．已知平面向量a，b的夹角为，且＝4，＝4，则a·b＝( )A．4 B．4C．8 D．8 答案：C解析：因为平面向量a，b的夹角为，且＝4，＝4，所以a·b＝cos ＝4×4×＝8，故选C.
3．已知＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝( )A．3 B．1 C．2 D．0 答案：A解析：由已知可得a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2＋1＝3.故选A.
4．已知＝3，e为单位向量，它们的夹角为，则向量a在e上的投影向量是________． e 解析：a和e向量成锐角，于是a在e上的投影向量和e同向共线，故投影向量为·cos ·e＝e.
题型探究·课堂解透
题型 1向量数量积的运算例1 已知向量＝3，＝2，a与b的夹角为.(1)求a·b，|a＋b|；(2)求(a＋3b)·(a－3b)． 解析：(1)向量a与b的夹角为＝3，＝2.则a·b＝·cos ＝3×2×＝3，＝＝＝＝；(2)(a＋3b)·(a－3b)＝2－92＝32－9×22＝－27.
题后师说求向量的数量积的方法求向量的数量积时，需明确两个关键点：相关向量的模和夹角．若是两个或两个以上向量的线性运算，则需先利用向量的数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简，使问题转化为两个单一向量的数量积，再用数量积公式计算．
巩固训练1 (1)已知向量a，b，且＝9，＝12，a与b的夹角为，则a·b＝( )A．36 B．36C．54 D．54 答案：D解析：a·b＝cos 〈a，b〉＝9×12×cos ＝54.故选D.
(2)[2022·河北唐山高一期末]已知等边三角形ABC的边长为2，则·＝( )A．2 B．－2C．－D． 答案：B解析：因为向量的夹角为，所以·＝2×2×cos ＝－2，故选B.
题型 2 与向量模有关的问题例2 [2022·浙江绍兴高一期末]已知向量a，b满足＝3，＝5.(1)若a·b＝0，求|b|的值；(2)若a·b＝1，求的值． 解析：(1)∵＝5，∴2＝a2＋b2－2a·b＝9＋2＝25，∴2＝16，即＝4.(2)2＝a2＋b2－2a·b＝9＋2－2＝25，∴2＝18，即＝3，＝＝＝＝.
题后师说求向量模的策略
巩固训练2 已知向量a、b满足|a|＝2，|b|＝3，|a＋b|＝4，求|a－b|. 解析：由已知，|a＋b|＝4，∴|a＋b|2＝42，∴a2＋2a·b＋b2＝16.(*)∵|a|＝2，|b|＝3，∴a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝9，代入(*)式得4＋2a·b＋9＝16，即2a·b＝3.又∵|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝4－3＋9＝10，∴|a－b|＝.
题型 3 与向量垂直、夹角有关的问题例3 [2022·湖南长郡中学高一期中]已知向量a，b满足＝＝2，＝.(1)求a与b的夹角；(2)若(a－b)⊥(a＋mb)(m∈R)，
2023-2024学年人教A版高中数学必修第二册 6.2.4 向量的数量积 课件
