6.2.3 向量的数乘运算
新课程标准解读核心素养1.通过实例分析、掌握平面向量数乘运算及运算法则，理解其几何意义，理解两个平面向量共线的含义数学运算2.了解平面向量线性运算的性质及其几何意义逻辑推理
知识梳理·读教材01题型突破·析典例02知能演练·扣课标03目录CONTENTS
01知识梳理·读教材
一根细绳东西方向摆放，一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动，如果蚂蚁向东运动1秒钟的位移对应的向量为a，那么它在同一方向上运动3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？蚂蚁向西运动3秒钟的位移对应的向量又怎样表示？是－3a吗？你能用图形表示吗？问题 类比实数的运算“a＋a＋a＝3a”你能猜想a＋a＋a的结果吗？
知识点一 向量的数乘运算及运算律1.向量的数乘（1）定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个 向量 ，这种运算叫做向量的数乘，记作 λa ；（2）规定：①｜λa｜＝ ｜λ｜｜a｜ ；②当λ＞0时，λa的方向与a的方向 相同 ；当λ＜0时，λa的方向与a的方向 相反 ；当λ＝0时，λa＝ 0 ；（－1）a＝ －a .向量 λa ｜λ｜｜a｜ 相同 相反 0 －a
2.向量数乘的运算律设λ，μ为实数，那么（1）λ（μa）＝ （λμ）a ；（2）（λ＋μ）a＝ λa＋μa ；（3）λ（a＋b）＝ λa＋λb .特别地，我们有（－λ）a＝－（λa）＝λ（－a），λ（a－b）＝λa－λb.提醒 （1）向量的数乘仍是向量；（2）实数λ与向量不能相加；（3）若λa＝0，则λ＝0或a＝0；（4）当a≠0时，向量是与向量a同向的单位向量. （λμ）a λa＋μa λa＋λb
知识点二 共线向量定理向量a（a≠0）与b共线的充要条件是：存在 唯一一个 实数λ，使 b＝λa .共线向量定理中为什么规定a≠0？唯一一个 b＝λa 提示：（1）若将条件a≠0去掉，即当a＝0时，显然a与b共线；（2）当a＝0时，若b≠0，则不存在实数λ，使b＝λa，但此时向量a与b共线；（3）当a＝0时，若b＝0，则对任意实数λ，都有b＝λa，与存在唯一一个实数λ矛盾.
1.已知非零向量a，b满足a＝4b，则（ ）A.｜a｜＝｜b｜B.4｜a｜＝｜b｜C.a与b的方向相同D.a与b的方向相反解析：∵a＝4b，4＞0，∴｜a｜＝4｜b｜且a与b方向相同.
2.a＋b＋a－4b＝（ ） A.2a＋3bB.a－3bC.2a－3bD.2a－2b解析：原式＝（＋）a＋（1－4）b＝2a－3b.故选C.
3.若向量e1，e2不共线，则下列各组中，向量a，b共线的有 .（填序号） ①a＝2e1，b＝－2e1；②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；③a＝4e1－e2，b＝e1－e2； ④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2.解析：①中，a＝－b，所以a，b共线；②中，b＝－2a，所以a，b共线；③中，a＝4b，所以a，b共线；④中，不存在λ∈R，使a＝λb，所以a，b不共线.答案：①②③
02题型突破·析典例
题型一向量的线性运算【例1】 （1）化简：[2（2a＋4b）－4（5a－2b）]； 解 （1）[2（2a＋4b）－4（5a－2b）]＝（4a＋8b－20a＋8b）＝（－16a＋16b）＝－4a＋4b. （2）已知3（2a－b＋c）＋x＝2（－a＋3b），求x.解 （2）因为3（2a－b＋c）＋x＝2（－a＋3b），所以6a－3b＋3c＋x＝－2a＋6b，即x＝－8a＋9b－3c.
通性通法向量线性运算的方法（1）向量的线性运算是向量的加、减、数乘三种运算的通称，类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”“公因式”指向量，实数是向量的系数；（2）向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用移项，合并同类项，系数化为1等步骤求解.
1.已知e1，e2是两个不共线的向量，向量a＝e1＋2e2，b＝3e1－5e2，则4a－3b＝ （用e1，e2表示）. 解析：∵a＝e1＋2e2，b＝3e1－5e2，∴4a－3b＝4（e1＋2e2）－3（3e1－5e2）＝－5e1＋23e2.答案：－5e1＋23e2
2.已知向量a，b，未知向量x，y，向量a，b，x，y满足关系式3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，则向量x＝ ，y＝ . 解析：由3x－2y＝a①，－4x＋3y＝b②，①×3＋②×2，得x＝3a＋2b，代入①得3×（3a＋2b）－2y＝a，即y＝4a＋3b.∴x＝3a＋2b，y＝4a＋3b.答案：3a＋2b 4a＋3b
题型二向量共线的判定及应用【例2】 设a，b是不共线的两个非零向量.（1）若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b，求证：A，B，C三点共线； 解 （1）证明：∵＝－＝（3a＋b）－（2a－b）＝a＋2b，＝－＝（a－3b）－（3a＋b）＝－（2a＋4b）＝－2，∴与共线，且有公共点B，∴A，B，C三点共线.
（2）若8a＋kb
2023-2024学年人教A版高中数学必修第二册 6.2.3 向量的数乘运算 课件
