6.4.1 平面几何中的向量方法6.4.2 向量在物理中的应用举例
课程标准1.掌握用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问题．2．体会向量是一种处理几何问题、物理问题的重要工具．3．培养运用向量知识解决实际问题和物理问题的能力．
新知初探·课前预习题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
教 材 要 点要点一 用向量方法解决平面几何问题❶的“三步曲”：(1)建立平面几何与向量的联系，用________表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为________问题；(2)通过________运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)把________“翻译”成几何关系．向量向量向量运算结果
要点二 向量在物理中的应用❷(1)物理问题中常见的向量有力、速度、加速度、位移等．(2)向量的加减法运算体现在力、速度、加速度、位移的合成与分解．(3)动量mv是向量的数乘运算．(4)功是力F与所产生的位移s的数量积．
助 学 批 注批注❶ 平面几何中经常涉及求距离(线段长度)、夹角问题，证明平行、垂直问题，而平面向量的运算，特别是数量积的运算主要涉及向量的模、夹角、垂直等知识，因此可以用向量方法解决部分几何问题．批注❷ (1)把物理问题转化为数学问题，也就是将物理量之间的关系抽象成数学模型．(2)利用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象．(3)在解决具体问题时，要明确和掌握用向量方法研究物理问题的相关知识．
夯实双基 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若△ABC是直角三角形，则有·＝0.( )(2)若∥，则直线AB与CD平行．( )(3)物理学中的功是一个向量．( )(4)速度、加速度与位移的合成和分解，实质上就是向量的加减运算．( ) ×××√
2．在△ABC中，若·＝－5，则△ABC的形状一定是( )A．直角三角形 B．等腰三角形C．锐角三角形 D．钝角三角形 答案：D解析：因为·＝－5<0，所以A为钝角，所以△ABC一定是钝角三角形．故选D.
3．已知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3，2)，F3＝(7，－3)同时作用于某物体上一点，为使该物体保持平衡，再加上一个力F4，则F4＝( )A．(－2，－2) B．(2，－2)C．(－1，2) D．(－2，2)答案：D解析：因为F1＝(－2，－1)，F2＝(－3，2)，F3＝(7，－3)，所以F1＋F2＋F3＝(－2，－1)＋(－3，2)＋(7，－3)＝(2，－2)，要想使该物体保持平衡，只需F4 ＝－(2，－2)＝(－2，2)，故选D.
4．在△ABC中，已知A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，则BC边的中线AD的长为________． 解析：BC中点为D＝，∴||＝＝.
题型探究·课堂解透
题型 1 向量在平面几何中的应用例1 已知四边形ABCD是边长为6的正方形，E为AB的中点，点F在BC上，且BF∶FC＝2∶1，AF与EC相交于点P，求四边形APCD的面积．
解析：以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，∴A(0，0)，B(6，0)，C(6，6)，D(0，6)，F(6，4)，E(3，0)，设P(x，y)，＝(x，y)，＝(6，4)，＝(x－3，y)，＝(3，6)．由点A，P，F和点C，P，E分别共线，得，∴，∴S四边形APCD＝S正方形ABCD－S△AEP－S△CEB＝36－×3×3－×3×6＝.
题后师说用向量法解决平面几何问题的方法
巩固训练1 [2022·山东枣庄高一期中]如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝1，AC＝3，点D在线段BC上，且BD＝DC.(1)求AD的长；(2)求cos ∠DAC.
解析：(1)设＝a，＝b，则＝＝＝)＝＝a＋b.2＝2＝(a＋b)2＝a2＋2××a·b＋b2＝×1＋2××1×3×cos 120°＋×9＝.故AD＝.(2)因为cos ∠DAC＝＝＝＝＝.
题型 2 平面向量在物理中的应用例2 [2022·山东菏泽高一期末]如图，一条河两岸平行，河的宽度AC＝ km，一艘船从河边的A点出发到达对岸的B点，船只在河内行驶的路程AB＝2 km，行驶时间为0.2 h．已知船在静水中的速度v1的大小为，水流的速度v2的大小为＝2 km/h.求：(1)；(2)船在静水中速度v1与水流速度v2夹角的余弦值．
解析：(1)因为船只在河内行驶的路程AB＝2 km，行驶时间为0.2 h，所以船只沿AB方向的速度为＝＝10 km/h.由AC＝ km，AB＝2 km，根据勾股定理可得：BC＝＝1 km，所以∠BAC＝30°，即，v〉＝60°由v＝，得：＝v2－v，所以＝＝＝＝2.(2)因为v＝v1＋v2，所以v2＝(v1＋v2)2，即100＝〉＋22，解得cos 〈v1，v2〉＝.即船在静水中速度v1与水流速度v2夹角的余弦值为.
题后师说用向量法解决物理问题的一般步骤
巩固训练2 设作用于同一点的三个力F1，F2，F3处于平衡状态，若|F1|＝1，|F2|＝2，且F1与F2的夹角为，如图所示．(1)求F3的大小；(2)求F2与F3的夹角．
解析：(1)由题意|F3|＝|F1＋F2|，因为|F1|＝1，|F2|＝2，且F1与F2的夹角为，所以|F3|＝|F1＋F2|＝＝.(2)设F2与F3的夹角为θ，因为F3＝－(F1＋F2)，所以F3·F2＝－F1·F2－F2·F2，所以·2·cos θ＝－1×2×(－)－4，所以cos θ＝－，所以θ＝.
2023-2024学年人教A版高中数学必修第二册 6.4.1 平面几何中的向量方法 6.4.2 向量在物理中的应用举例 课件
