2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第一册 3.1.1 椭圆及其标准方程 学案

第三章　圆锥曲线的方程 3.1 　椭　圆 3 ． 1.1 　椭圆及其标准方程 课程标准 1 ．理解并掌握椭圆的定义及椭圆的标准方程． 2 ．掌握用定义法、待定系数法和相关点法求椭圆的标准方程 . 学法解读 1 ．了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． ( 数学建模 ) 2 ．掌握椭圆的定义和标准方程． ( 数学抽象 ) 3 ．会求椭圆的标准方程． ( 数学运算 ) 知识点 1 　椭圆的定义 1 ．定义：平面内与两个定点 F 1 ， F 2 的距离的和等于 _ 常数 __( 大于 | F 1 F 2 |) 的点的轨迹． 2 ．焦点：两个定点 F 1 ， F 2 . 3 ．焦距：两焦点间的距离 | F 1 F 2 |. 4 ．几何表示： | MF 1 | ＋ | MF 2 | ＝ _ 2 a __( 常数 ) 且 2 a _ > __| F 1 F 2 |. 做一做： ( 多选 ) 下列说法中，不正确的是 ( ABD ) A ．到点 M ( － 3,0) ， N (3,0) 的距离之和等于 4 的点的轨迹是椭圆 B ．到点 M (0 ，－ 3) ， N (0,3) 的距离之和等于 6 的点的轨迹是椭圆 C ．到点 M ( － 3,0) ， N (3,0) 的距离之和等于 8 的点的轨迹是椭圆 D ．到点 M (0 ，－ 3) ， N (0,3) 的距离相等的点的轨迹是椭圆 [ 解析 ] 　选项 A 中所求点的轨迹不存在，选项 B 中所求点的轨迹是线段 MN ，选项 C 由椭圆的定义知， C 选项说法正确，选项 D 中所求点的轨迹是线段 MN 的垂直平分线． 知识点 2 　椭圆的标准方程 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 标准方程 ＋ ＝ 1( a > b >0) 　 ＋ ＝ 1( a > b >0) 　 图形 焦点坐标 _ F 1 ( － c, 0) ， F 2 ( c , 0) __ _ F 1 (0 ，－ c ) ， F 2 (0 ， c ) __ a ， b ， c 的 关系 _ b 2 ＝ a 2 － c 2 __ 思考：能否根据椭圆的标准方程，判定焦点位置？ 提示：能．椭圆的焦点在 x 轴上 ⇔ 标准方程中含 x 2 项的分母较大；椭圆的焦点在 y 轴上 ⇔ 标准方程中含 y 2 项的分母较大． 做一做： 1. 若椭圆方程为 ＋ ＝ 1 ，则其焦点在 x 　 轴上，焦点坐标为 (2,0) 和 ( － 2,0) 　 . [ 解析 ] 　因为 10>6 ，所以焦点在 x 轴上，且 a 2 ＝ 10 ， b 2 ＝ 6 ， 所以 c 2 ＝ 10 － 6 ＝ 4 ， c ＝ 2 ，故焦点坐标为 (2,0) 和 ( － 2,0) ． 2 ．若椭圆的焦距为 6 ， a － b ＝ 1 ，则椭圆的标准方程为 ＋ ＝ 1 或 ＋ ＝ 1 　 . [ 解析 ] 　 ∵ 椭圆的焦距为 6 ， ∴ c ＝ 3 ， ∴ a 2 － b 2 ＝ c 2 ＝ 9. 又 ∵ a － b ＝ 1 ， ∴ a ＝ 5 ， b ＝ 4. ∴ 椭圆的标准方程为 ＋ ＝ 1 或 ＋ ＝ 1. 题型探究 题型一　椭圆的标准方程 典例 1 根据下列条件，求椭圆的标准方程： (1) 两个焦点的坐标分别为 ( － 4,0) 和 (4,0) ，且椭圆经过点 (5,0) ； (2) 焦点在 y 轴上，且经过两个点 (0,2) 和 (1,0) ； (3) 经过点 A ( ，－ 2) 和点 B ( － 2 ， 1) ． [ 分析 ] 　 (1) 设出焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程，再根据条件求出 a ， b 的值，即可求得方程； (2) 设出焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程，再根据条件求出 a ， b 的值，即可求得方程； (3) 焦点位置不确定，可以分两种情况分别求解，也可直接设所求椭圆方程为 mx 2 ＋ n y 2 ＝ 1( m >0 ， n >0 ， m ≠ n ) ． [ 解析 ] 　 (1) 因为椭圆的焦点在 x 轴上， 所以设它的标准方程为 ＋ ＝ 1( a > b >0) ． 因为 2 a ＝ ＋ ＝ 10 ，所以 a ＝ 5. 又 c ＝ 4 ，所以 b 2 ＝ a 2 － c 2 ＝ 25 － 16 ＝ 9. 故所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝ 1. (2) 因为椭圆的焦点在 y 轴上，所以设它的标准方程为 ＋ ＝ 1( a > b >0) ． 又椭圆经过点 (0,2) 和 (1,0) ， 所以 解得 故所求椭圆的标准方程为 ＋ x 2 ＝ 1. (3) ① 当焦点在 x 轴上时，设椭圆的标准方程为 ＋ ＝ 1( a > b >0) ． 依题意有 解得 故所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝ 1. ② 当焦点在 y 轴上时，设椭圆的标准方程为 ＋ ＝ 1( a > b >0) ． 依题意有 解得 因为不满足 a > b >0 ，所以无解． 综上可知，所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝ 1. 典例 2 (1) 若方程 ＋ ＝ 1 表示椭圆，则实数 m 的取值范围是 ( B ) A ． ( － 9,25) B ． ( － 9,8) ∪ (8,25) C ． (8,25) D ． (8 ，＋ ∞ ) (2) 若方程 x 2 － 3 my 2 ＝ 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数 m 的取值范围是 　 . [ 解析 ] 　 (1) 依题意有 解得－ 9< m <8 或 8< m <25 ， 即实数 m 的取值范围是 ( － 9,8) ∪ (8,25) ． (2) 由题意知 m ≠ 0 ，将椭圆方程化为 ＋ ＝ 1 ， 依题意有 解得 m < － ， 即实数 m 的取值范围是 . [ 规律方法 ] 　根据椭圆方程求参数的取值范围 1 ．给出方程 ＋ ＝ 1 ，其表示椭圆的条件是 其表示焦点在 x 轴上的椭圆的条件是 m > n >0 ，其表示焦点在 y 轴上的椭圆的条件是 n > m >0. 2 ．若给出椭圆方程 Ax 2 ＋ By 2 ＝ C ，则应首先将该方程转化为椭圆的标准方程的形式 ＋ ＝ 1 ，再研究其焦点的位置等情况． 对点训练 ❶ (1) 若方程 － ＝ 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则实数 a 的取值范围是 _ ( － 4,0) ∪ (0,3) __. (2) 求适合下列条件的椭圆的标准方程： ① 经过两点 (2 ，－ ) ， ； ② 过点 ( ，－