2023-2024学年人教A版高中数学必修第二册 7.2.1　复数的加、减运算及其几何意义（学案）

7.2 　 复数的四则运算 7.2.1 　 复数的加、减运算及其几何意义 新课程标准解读 核心素养 1. 通过实例，结合实数的加、减运算法则理解复数代数形式的加、减运算法则 数学抽象 2. 结合向量的加、减运算明确复数代数形式的加、减运算的几何意义 数学运算 　　 我们知道，任意两个实数都可以相加，而且实数中的加法运算还满足交换律与结合律 . 问题 　 那么复数中的加法满足交换律与结合律吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   知识点一 　 复数的加、减法运算 1 . 运算法则 ： 设 z 1 ＝ a ＋ b i ， z 2 ＝ c ＋ d i （ a ， b ， c ， d ∈ R ）是任意两个复数，则 （ 1 ） z 1 ＋ z 2 ＝ 　（ a ＋ c ） ＋ （ b ＋ d ） i 　 ； （ 2 ） z 1 － z 2 ＝ 　（ a － c ） ＋ （ b － d ） i 　 . 2 . 加法运算律 ： 对任意 z 1 ， z 2 ， z 3 ∈ C ，有 （ 1 ） z 1 ＋ z 2 ＝ 　 z 2 ＋ z 1 　 ； （ 2 ）（ z 1 ＋ z 2 ） ＋ z 3 ＝ 　 z 1 ＋ （ z 2 ＋ z 3 ）　 . 知识点二　复数加、减法的几何意义 如图，设在复平面内复数 z 1 ， z 2 对应的向量分别为 ， ，以 ， 为邻边作平行四边形，则与 z 1 ＋ z 2 对应的向量是 　 　 ，与 z 1 － z 2 对应的向量是 　 　 . 提醒 　 （ 1 ）把复数的代数形式看成关于 “ i ” 的多项式，则复数的加、减法类似于多项式的加、减法，只需 “ 合并同类项 ” 即可；（ 2 ）复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则 . 1. 已知复数 z ＋ 3i － 3 ＝ 3 － 3i ，则 z ＝ （ 　　 ） A.0 B.6i C.6 D.6 － 6i 解析： D 　 ∵ z ＋ 3i － 3 ＝ 3 － 3i ， ∴ z ＝ （ 3 － 3i ） － （ 3i － 3 ） ＝ 6 － 6i. 2. 在复平面内，向量 对应的复数是 5 － 4i ，向量 对应的复数是－ 5 ＋ 4i ，则 ＋ 对应的复数是（ 　　 ） A. － 10 ＋ 8i B.10 － 8i C.0 D.10 ＋ 8i 解析： C 　 ＋ ＝ （ 5 ， － 4 ） ＋ （ － 5 ， 4 ） ＝ （ 0 ， 0 ），故 ＋ 对应的复数为 0. 3. （ 2 ＋ i ）－（ 6 － 2i ） ＋ （ 5 ＋ 6i ） ＝ 　 　　　　 .   解析： （ 2 ＋ i ） － （ 6 － 2i ） ＋ （ 5 ＋ 6i ） ＝ （ 2 － 6 ＋ 5 ） ＋ （ 1 ＋ 2 ＋ 6 ） i ＝ 1 ＋ 9i. 答案： 1 ＋ 9i 题型一 复数的加、减运算 【例 1 】 　 （ 1 ）计算：（ 8 － 2i ）－（－ 7 ＋ 5i ） ＋ （ 3 ＋ 7i ）； （ 2 ）设 z 1 ＝ x ＋ 2i ， z 2 ＝ 3 － y i （ x ， y ∈ R ），且 z 1 ＋ z 2 ＝ 5 － 6i ，求 z 1 － z 2 . 解 　 （ 1 ）（ 8 － 2i ） － （ － 7 ＋ 5i ） ＋ （ 3 ＋ 7i ） ＝ [ 8 － （ － 7 ） ＋ 3 ] ＋ （ － 2 － 5 ＋ 7 ） i ＝ 15 ＋ 3 . （ 2 ） ∵ z 1 ＝ x ＋ 2i ， z 2 ＝ 3 － y i ， z 1 ＋ z 2 ＝ 5 － 6i ， ∴ （ 3 ＋ x ） ＋ （ 2 － y ） i ＝ 5 － 6i ， ∴ ∴ ∴ z 1 － z 2 ＝ （ 2 ＋ 2i ） － （ 3 － 8i ） ＝ （ 2 － 3 ） ＋ [ 2 － （ － 8 ） ] i ＝ － 1 ＋ 10i. 通性通法 复数加、减法运算的法则 （ 1 ）复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部； （ 2 ）复数的运算可以类比多项式的运算（类似于合并同类项）：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算 . 1. 若（ 1 － i ） ＋ （ 2 ＋ 3i ） ＝ a ＋ b i （ a ， b ∈ R ， i 是虚数单位），则 a － b ＝ （ 　　 ） A.5 B.1 C.0 D. － 3 解析： B 　 因为（ 1 － i ） ＋ （ 2 ＋ 3i ） ＝ a ＋ b i ，即 3 ＋ 2i ＝ a ＋ b i ，所以 a ＝ 3 ， b ＝ 2 ，所以 a － b ＝ 1. 故选 B. 2. 已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 则 z ＝ （ 　　 ） A.2 － i B.2 ＋ i C.1 － 2i D.1 ＋ 2i 解析： A 　 因为 所以两个等式相加得， 2 z ＝ 4 － 2i ，所以 z ＝ 2 － i. 故选 A. 题型二 复数加、减法几何意义的应用 【例 2 】 　 如图所示，平行四边形 OABC 的顶点 O ， A ， C 对应的复数分别为 0 ， 3 ＋ 2i ，－ 2 ＋ 4i. 求： （ 1 ） 对应的复数； （ 2 ） 对应的复数； （ 3 ） 对应的复数及 ｜ ｜ 的长度 . 解 　 （ 1 ）因为 ＝ － ，所以 对应的复数为 － 3 － 2i. （ 2 ）因为 ＝ － ，所以 对应的复数为（ 3 ＋ 2i ） － （ － 2 ＋ 4i ） ＝ 5 － 2i. （ 3 ）因为 ＝ ＋ ，所以 对应的复数为（ 3 ＋ 2i ） ＋ （ － 2 ＋ 4i ） ＝ 1 ＋ 6i. 所以 ｜ ｜＝ ＝ . 通性通法 复数与向量的对应关系的两个关注点 （ 1 ）复数 z ＝ a ＋ b i （ a ， b ∈ R ）与以原点为起点， Z （ a ， b ）为终点的向量一一对应； （ 2 ）一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数发生改变 . 1. 已知复平面内的向量 ， 对应的复数分别是－ 2＋i ， 3＋2i ，则 ｜