2023-2024学年北师大版高中数学必修第二册 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 课件

第一章 三角函数§4 正弦函数和余弦函数的概念及其性质 课时2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 学习目标 1.掌握正弦函数、余弦函数的性质.（逻辑推理） 2.掌握正弦函数值和余弦函数值的符号.（直观想象） 3.通过正弦、余弦定义的应用及同角的正弦、余弦函数值间的关系，提升数学运算素养. 自主预习·悟新知合作探究·提素养随堂检测·精评价 江南水乡，水车在清清的河流里悠悠转动，缓缓地把河流里的水倒进水渠，流向绿油油的大地，流向美丽的大自然，在水车转动的瞬间，同学们能想到些什么呢？ 阅读教材，回答下列问题：1.正弦函数、余弦函数的定义域是什么？[答案]正弦函数、余弦函数的定义域是<m></m>. 2.正弦函数、余弦函数的值域是什么，它们的值域相同吗?[答案]正弦函数、余弦函数的值域都是<m></m>，相同. 3.正弦函数、余弦函数的周期是多少？最小正周期是什么？[答案]正弦函数、余弦函数的周期是<m></m>（<m></m>且<m></m>），最小正周期是<m></m>. 4.余弦函数在第一、二、三、四象限的符号是什么？[答案] 余弦函数在第一、二、三、四象限的符号分别是正、负、负、正. 1.（多选题）如果<m></m>，则<m></m>可能是(). A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角BC[解析]根据余弦函数的定义，<m></m>，其中<m></m>，所以<m></m>，即<m></m>，所以在象限角中，<m></m>可能是第二象限角或第三象限角.故选BC.  2.函数<m></m>的定义域是(). A.<m></m>B.<m></m>C.<m></m>D.<m></m> A[解析]<m></m>，<m></m>，<m></m>，<m></m>，<m></m>.  3.函数<m></m>的值域是_______. <m></m> [解析]<m></m>，<m></m>，即函数<m></m>的值域是<m></m>. 4.函数<m></m>，<m></m>的最大值是_______，此时<m></m>____. <m></m> <m></m> [解析]根据单调性可知，当<m></m>时，<m></m>取得最小值，且<m></m>，所以<m></m>.  探究1 正弦函数、余弦函数的性质学习了三角函数的定义后，杨洋把单位圆上的点<m></m>旋转一周，发现了点<m></m>的坐标的范围，点<m></m>的坐标具有周期性变化.  问题1：你能说出<m></m>，<m></m>的取值范围吗？ [答案]能，<m></m>,<m></m>. 问题2：根据三角函数的定义，能确定<m></m>，<m></m>的取值范围吗？ [答案]能.<m></m>，<m></m>. 问题3：正弦函数、余弦函数的最大值、最小值分别是多少？[答案]设任意角<m></m>的终边与单位圆交于点<m></m>，当自变量<m></m>变化时，点<m></m>的横坐标是<m></m>，<m></m>，纵坐标是<m></m>，<m></m>，所以正弦函数、余弦函数的最大值为1，最小值为<m></m>.  新知生成 正弦函数和余弦函数的性质：<m></m><m></m>定义域__________值域<m></m>最值最大值为1，最小值为-1单调性增区间：<m></m>.减区间：<m></m>增区间：<m></m>.减区间：<m></m>定义域__________值域最值最大值为1，最小值为-1单调性全体实数 新知运用例1求下列函数的单调区间、最大值、最小值以及取得最大值、最小值时的自变量<m></m>的值. （1）<m></m>，<m></m>； （2）<m></m>，<m></m>. 方法指导 先画图，结合图象写出正、余弦函数的单调区间，再结合单调性求正、余弦函数的值域. [解析]（1）由图①可知，<m></m>在<m></m>上是单调递增的，在<m></m>上是单调递减的.且当<m></m>时，<m></m>取得最大值，最大值为1；当<m></m>时，<m></m>取得最小值，最小值为<m></m>.  （2）由图②可知，<m></m>在[<m></m>，<m></m>]上是单调递增的，在<m></m>上是单调递减的.且当<m></m>时，<m></m>取得最小值，最小值为<m></m>；当<m></m>时，<m></m>取得最大值，最大值为1.  &1&利用单位圆研究三角函数性质的方法：第一步，在单位圆中画出角<m></m>的取值范围；第二步，作出角<m></m>的终边与单位圆的交点<m></m>；第三步，研究点<m></m>的横坐标及纵坐标随<m></m>的变化而变化的规律；第四步，得出结论.  求下列函数的单调区间和值域，并说明取得最大值和最小值时的自变量<m></m>的值. （1）<m></m>，<m></m>； [解析]<m></m>，<m></m>的单调递减区间为<m></m>，单调递增区间为<m></m>.当<m></m>时，<m></m>；当<m></m>时，<m></m>，故函数<m></m>，<m></m>的值域为<m></m>.  （2）<m></m>，<m></m>. [解析]<m></m>，<m></m>的单调递减区间为<m></m>，单调递增区间为<m></m>.当<m></m>时，<m></m>；当<m></m>或<m></m>时，<m></m>，故函数<m></m>，<m></m>的值域为<m></m>.  探究2 周期性清晨,太阳从东方升起；傍晚,太阳从西方落下.24小时,太阳东升西落,这种周而复始的现象叫周期现象.周期现象在生活中随处可见,如:阴晴圆缺、四季轮回、潮起潮落<m></m> 问题1：终边相同的角的正弦、余弦函数值相等吗？为什么？[答案] 相等.因为两角终边相同，所以终边与单位圆交于同一点，由正弦、余弦函数的定义知同名函数值相等.问题2：由<m></m>可知，函数值随着角的变化呈周期性变化，你能说一下函数的变化周期吗？ [答案]<m></m>，<m></m>，<m></m>，<m></m>等都是函数的周期.  新知