第1课时 正弦定理(1)
新知初探·课前预习题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
教材要点要点一 正弦定理及常见变形状元随笔 (1)正弦定理对任意三角形都适用．(2)正弦定理中的比值是一个定值，它的几何意义为三角形外接圆的直径．(3)正弦定理是直角三角关系的一个推广，它的主要功能是实现三角形中的边角互化．(4)通过正弦定理可“知三求一”． 文字语言在一个三角形中，各边和它所对角的________的比值相等符号语言________＝________＝________正弦
要点二 利用正弦求三角形面积S＝ab sin C＝bc sin A＝ac sin B．
基础自测1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)正弦定理对任意的三角形都成立．( )(2)在△ABC中，等式b sin C＝c sin B总能成立．( )(3)在△ABC中，若a＞b，则必有sin A>sin B．( )(4)任意给出三角形的三个元素，都能求出其余元素．( )√√√×
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a＝，A＝60°，B＝45°，则b＝( )A． B．2C． D．2 答案：A解析：由正弦定理可得＝，即＝，解得b＝.
3．在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝，则sin B＝( )A． B．C． D．1 答案：B解析：∵a＝3，b＝5，sin A＝，∴由正弦定理得sin B＝＝＝.
4．在△ABC中，若a＝3，b＝，A＝，则C＝________． 解析：由正弦定理得sin B＝＝＝又b<a，∴B＝，∴C＝.
题型探究·课堂解透
题型 1 已知两角及任意一边解三角形例1 在△ABC中，已知B＝30°，C＝105°，b＝4，解三角形．解析：因为B＝30°，C＝105°，所以A＝180°－(B＋C)＝180°－(30°＋105°)＝45°，由正弦定理，得＝＝，解得a＝＝4，c＝＝2()．
方法归纳(1)正弦定理实际上是三个等式：＝＝＝，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个．(2)因为三角形的内角和为180°，所以已知两角一定可以求出第三个角．
跟踪训练1 △ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则c等于( )A．1 B． C． D．2 答案：D解析：由已知得C＝180°－B－A＝30°，根据正弦定理：＝，故c＝2.
题型 2 已知两边及其中一边的对角解三角形例2 在△ABC中，已知c＝，A＝45°，a＝2，解三角形． 解析：∵＝，∴sin C＝＝＝，∵0°<C<180°，∴C＝60°或C＝120°.当C＝60°时，B＝75°，b＝＝＝＋1；当C＝120°时，B＝15°，b＝＝＝－1.∴b＝＋1，B＝75°，C＝60°或b＝－1，B＝15°，C＝120°.
变式探究 若把本例中的条件“A＝45°”改为“C＝45°”，则角A有几个值？解析：∵＝，∴sin A＝＝＝.∵c＝>2＝a，∴C>A.∴A为小于45°的锐角，且正弦值为，这样的角A只有一个．
方法归纳已知两边及其中一边的对角，利用正弦定理解三角形的步骤(1)利用正弦定理求出另一边所对角的正弦值，进而求出这个角．(2)利用三角形内角和为180°求出第三个角．(3)根据正弦定理求出第三条边．其中进行(1)时要注意讨论该角是否可能有两个值．
跟踪训练2 (1)若在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝30°，a＝2，b＝4，则B＝( )A．45° B．135°C．45°或135° D．以上都不对 解析：由正弦定理可得＝，∴sin B＝.∵b>a，∴B>A.∵0°<B<180°，∴B＝45°或135°. 答案：C
(2)(多选)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列各组条件中使得△ABC有唯一解的是( )A．b＝10，A＝45°，C＝70° B．a＝7，b＝5，A＝60°C．a＝14，b＝16，A＝45° D．a＝3，c＝4，cos C＝ 答案：ABD
解析：对于A，因为A＝45°，C＝70°，所以B＝65°，结合b＝10，△ABC唯一确定；对于B，由正弦定理得，sin B＝＝<1.因为b<a，所以B<A，所以此时B只有一个解，△ABC唯一确定；对于C，由正弦定理得，sin B＝＝.因为b>a，所以B>A，且sin B＝>，所以此时B在中有两个解，△ABC不唯一；对于D，由余弦定理知，a2＋b2－c2＝2ab cos C，代入得b2－2b－7＝0，解得b＝1＋2或b＝1－2(舍)，△ABC唯一确定．
题型 3 求三角形的面积例3 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B＝，cos A＝，b＝.(1)求sin C的值；(2)求△ABC的面积． 解析：(1)因为cos A＝>0，所以A∈，故sin A＝＝，所以sin C＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝＝.(2)由正弦定理可得＝，所以a＝，利用三角形的面积公式可得S△ABC＝ab sin C＝＝.
方法归纳利用公式“S＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A”求三角形的面积，关键是要求出两边及这两边的夹角．
跟踪训练3 (1)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知b＝2，B＝，C＝，则△ABC的面积为( )A． B． C． D．＋1 答案：D解析：由正弦定理＝，可得c＝＝＝2，因为sin A＝sin (B＋C)＝sin cos ＋cos sin ＝，因此，S△ABC＝bc sin A＝2＝＋1.
(2)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，b＝，B＝120°，则△ABC的面积为________． 解析：由余弦定理知：b2＝a2＋c2－2ac cos B，即7＝1＋c2－2×c·cos 120°＝c2＋c＋1，即(c－2)(c＋3)＝0，故c＝2或c＝－
2023-2024学年湘教版高中数学必修第二册 1.6解三角形1.6.2正弦定理第1课时正弦定理1 课件
