2.3
二次函数与一元二次方程、不等式
第
2
课时 二次函数与一元二次方程、不等式
(
二
)
学习目标
1
.
会解决与一元二次不等式有关的恒成立问题
.
2
.
能从实际生活中抽象出一元二次不等式的模型
,
并加以解决
.
3
.
会解简单的一元高次不等式、分式不等式
.
教材知识梳理
一
不等式恒成立问题
1
.
不等式的解集为
R(
或恒成立
)
的条件
不等式
ax
2
+
bx
+
c
>0
ax
2
+
bx
+
c
<0
a
=0
b
=0,
c
>0
b
=0,
c
<0
a
≠0
2
.
有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法
设二次函数
y
=
ax
2
+
bx
+
c
若
ax
2
+
bx
+
c
≤
k
恒成立
⇔
y
max
≤
k
若
ax
2
+
bx
+
c
≥
k
恒成立
⇔
y
min
≥
k
二
分式不等式的解法
若
f
(
x
)
与
g
(
x
)
是关于
x
的多项式
,
则不等式
>0(
或
<0,
或
≥0,
或
≤0)
称为分式不等式
.
解分式不等式总的原则是利用不等式的同解原理将其转化为整式不等式
(
组
)
求解
.
1
.
>0
⇔
f
(
x
)
g
(
x
)>0
;
2
.
<0
⇔
f
(
x
)
g
(
x
)<0
;
3
.
≥0
⇔
;
4
.
≤0
⇔
.
【质疑辨析】
(
正确的打
“√”,
错误的打
“×”)
(1)
若关于
x
的不等式
ax
2
+
bx
+
c
>0
对任意
x
∈
R
恒成立
,
则
.
(
×
)
(2)
求解
m
>
ax
2
+
bx
+
c
(
a
<0)
恒成立时
,
可转化为求解
y
=
ax
2
+
bx
+
c
的最小值
,
从而求出
m
的范围
.
(
×
)
(3)
不等式
(
x
-1)(
x
-2)
2
>0
的解集为
x
>1
.
(
×
)
(4)
不等式
>0
与
(
x
-3)(
x
+2)>0
的解集相同
.
(
√
)
教材典题变式
【例
1
】
(
源于
P53
例
4)
某文具店购进一批新型台灯
,
若按每盏台灯
15
元的价格销售
,
每天能卖出
30
盏
;
若售价每提高
1
元
,
日销售量将减少
2
盏
.
现决定提价销售
,
为了使这批台灯每天获得
400
元以上
(
不含
400
元
)
的销售收入
,
则这批台灯的销售单价
x
(
单位
:
元
)
的取值范围是
.
【答案】
{
x
|15<
x
<20}
【详解】结合题意易知
,[30-2(
x
-15)]·
x
>400,
即
x
2
-30
x
+200<0,
解得
10<
x
<20,
因为
x
>15,
所以
15<
x
<20,
这批台灯的销售单价
x
的取值范围是
{
x
|15<
x
<20}
.
【例
2
】
(
源于
P54
例
5)
某市为推动美丽乡村建设
,
发展农业经济
,
鼓励某食品企业生产一种饮料
,
该饮料每瓶成本为
10
元
,
售价为
15
元
,
月销售
8
万瓶
.
(1)
据市场调查
,
若每瓶售价每提高
1
元
,
月销售量将减少
8 000
瓶
,
要使下月总
利润不低于原来的月总利润
,
该饮料每瓶售价最多为多少元
?
(2)
为提高月总利润
,
企业决定下月调整营销策略
,
计划每瓶售价
x
(
x
≥16)
元
,
并投入
(
x
-16)
万元作为调整营销策略的费用
.
据市场调查
,
每瓶售价每提高
1
元
,
月销售量将相应减少
万瓶
,
则当每瓶售价
x
为多少时
,
下月的月总利润最大
?
并求出下月的最大总利润
.
(
提示
:
月总利润
=
月销售总收入
-
月总成本
)
【详解】
(1)
设提价
a
元
,
由题意
,
每瓶饮料的利润为
(
a
+5)
元
,
月销售量为
(8-0
.
8
a
)
万瓶
,
所以提价后月销售总利润为
(
a
+5)(8-0
.
8
a
)
万元
.
因为原来月销售总利润为
5×8=40(
万元
),
月利润不低于原来月利润
,
所以
(
a
+5)(8-0
.
8
a
)≥40,
即
a
2
-5
a
≤0,
所以
0≤
a
≤5,
所以售价最多为
5+15=20(
元
),
故该饮料每瓶售价最多为
20
元
.
(2)
由题意
,
每瓶利润为
(
x
-10)
元
,
月销售量为
8-
(
x
-15)=
8-
万瓶
,
设下月总利润为
y
=(
x
-10)
8-
-
(
x
-16),
x
≥16,
整理得
y
=-
x
-
+51
.
2=-
(
x
-15)+
+47
.
45,
因为
x
≥16,
所以
x
-15≥1,
所以
y
≤-2
+47
.
45=45
.
45,
当且仅当
x
=19
时取到等号
,
故当每瓶售价为
19
元时
,
下月的月总利润最大
,
最大总利润为
45
.
45
万元
.
【归纳总结】
解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型
,
选择其中起关键作用的未知量为
x
,
用
x
来表示其他未知量
,
根据题意
,
列出不等关系再求解
.
具体步骤为
:
(1)
理解题意
,
搞清量与量之间的关系
.
(2)
建立相应的不等关系
,
把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式
(
组
)
问题
.
(3)
解这个一元二次不等式
(
组
),
得到实际问题的解
.
教材拓展延伸
【例
3
】
(1)
若关于
x
的不等式
ax
2
+
ax
+2>0
在
R
上恒成立
,
则实数
a
的取值范围是
.
(2)
若
1<
a
<2
时
,
不等式
ax
2
+(
a
-2)
x
-2≥0
恒成立
,
则
x
的取值范围是
.
【答案】
(1){
a
|0≤
a
<8}
(2){
x
|
x
≥2
或
x
≤-1}
【详解】
(1)
若
a
=0,
则原不等式等价为
2>0,
此时不等式恒成立
,
若
a
≠0,
则要使不等式
ax
2
+
ax
+2>0
恒成立
,
则有
,
解得
0<
a
<8,
故
a
的取值范围为
0≤
a
<8
.
(2)
原不等式即为
a
(
x
2
+
x
)-2
x
-2≥0,
则
,
解得
x
≥2
或
x
≤-1
.
【归纳总结】
一元二次不等式恒成立的问题
(1)
不等式
ax
2
+
bx
+
c
>0
的解是全体实数
(
或恒成立
)
的条件是
:
当
a
=0
时
,
b
=0,
c
>0;
当
a
≠0
时
,
(2)
不等式
ax
2
+
bx
+
c
<0
的解是全体实数
(
或恒成立
)
的条件是
:
当
a
=0
时
,
b
=0,
c
<0;
当
a
≠0
时
,
(3)
解决恒成立问题一定
2023-2024学年高中数学人教A版必修第一册 第二章 2.3 第2课时 二次函数与一元二次方程、不等式(二) 学案
