2023-2024学年高一数学人教A版2019必修第一册同步备课教案2-3二次函数与一元二次方程、不等式

2 ． 3 二次函数与一元二次方程、不等式 （单元教学设计） 一、【单元目标】 【知识与能力目标】 1 、 通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系． 2 、 使学生能够运用二次函数及其图像，性质解决实际问题 ． 【过程与方法目标】 渗透数形结合思想，进一步培养学生综合解题能力 ． 【情感态度价值观目标】 通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣． 二、【单元知识结构框架】 三、 【学情分析】 三个 “ 二次 ” 即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是高中数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具 高考试题中近一半的试题与这三个 “ 二次 ” 问题有关 本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法． 四、【教学设计思路 / 过程】 课时安排： 约 2 课时 教学重点： 一元二次函数与一元二次方程的关系，利用二次函数图像求一元二次方程的实数根和不等式的解集 教学难点： 一元二次方程根的情况与二次函数图像与 x 轴位置关系的联系，数形结合思想的运用 ． 教学方法 / 过程： 五、【教学问题诊断分析】 环节一、 情景引入，温故知新 情景： 在初中 ， 我们从一次函数的角度看待一元一次方程、一元一次不等式 ， 发现了三者之间的内在联系 ， 利用这种联系可以更好地解决相关问题 ． 对于二次函数、一元二次方程和一元二次不等式 ， 是否也有这样的联系呢 ? 先来看这样一个问题 ． 问题 1 ： 园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉 ． 若栅栏的长度是 ， 围成的矩形区域的面积要大于 ，则这个矩形的边长为多少米 ? 【破解方法】 教师提出问题，要求学生独立设未知数，并列出不等式 ，然后回答．学生容易忘记自变量的取值范围，教师根据情况补充完善 ． 环节二、抽象概念，内涵辨析 1 ． 一元二次不等式的概念 问题 2 ： （ 1 ）与一元一次不等式类比，这个不等式有什么特点 ? （只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 ） （ 2 ）类比一元一次不等式的定义，你能给这类不等式起个名字吗 ? 你能给出这类不等式的一般形式吗 ? 【破解方法】 学生在老师的引领下，类比一元一次不等式的定义，独立思考，尝试给出一元二次不等式的定义，教师帮助总结完善，得出完整的定义． 【 归纳新知 】 一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是 2 的不等式，称为一元二次不等式，即形如 或 （其中 a ， b ， c 均为常数， 的不等式都是一元二次不等式． 2 ． 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 问题 3 ： 如何解不等式 ? 如何从一次函数的观点求解一元一次不等式 ? 【破解方法】 学生思考 ， 回答如何解不等式 ． 教师引导学生从一次函数的观点求解一元一次不等式的步骤 ： 先画出对应的一次函数的图象 ， 然后再解对应的一元一次方程 ， 得图象与 轴的交点，最后根据图象写出一元一次不等式的解集． 问题 4 ： 类比一次不等式的求解方法，怎么求解 ? 我们怎么理解 三者之间的联系 ? 【破解方法】 教师用信息技术画出函数 的图象 ， 并在函数图象上取一点 ， 让点 在抛物线上移动 ， 学生观察图象 ， 并回答随着点 的移动 ， 它的横、纵坐标的变化情况 ． 当点 移动到 轴上时 ， 它的纵坐标等于 0 ； 当点 移动到 轴上方时 ， 它的纵坐标大于 0 ； 当点 移动到 轴下方时 ， 它的纵坐标小于 0 ． 问题 5 ： 一元二次方程 的实数根就是二次函数 图象上纵坐标为 0 的点的横坐标 ， 这个结论可以推广到一般吗 ? 【破解方法】 教师引导学生得出这一结论可以推广为一般 ： 对于二次函数 ， 我们把满足 的实数 叫做二次函数 的零点 ． 二次函数 的两个零点是 2 和 10 ． 问题 6 ： 二次函数 的两个零点 2 和 10 将 轴分成三段．每一段（不包括零点）对应的函数图象有什么特点 ? 函数值有什么特点 ? 【破解方法】 教师引导学生观察图象得出：当 或 时 ， 函数图象位于 轴上方，此时 0 ，即 ；当 时 ， 函数图象位于 轴下方，此时 ，即 ． 问题 7 ： 不等式 的解集是什么 ? 不等式 的解集是什么 ? 【破解方法】 学生独立思考得出结论：一元二次不等式 的解集是 ， 的解集是 ． 问题 8 ： 上述方法可以推广到求一般的一元二次不等式 或 的解集吗 ? 对于一般的一元二次方程 、一元二次不等式 与相应的函数 之间是否也有类似的关系 ? 【破解方法】 对于一元二次方程 的两根为 且 ，设 ，它的解按照 ， ， 可分三种情况，相应地，二次函数 的图像与 轴的位置关系也分为三种情况．因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式 或 的解集． 二次函数 （ ）的图象 有两相异实根 有两相等实根 无实根 环节三： 例题练习 ， 巩固理解 题型一： 解不含参数的一元二次不等式 【例 1 】 解下列不等式： （ 1 ） ； （ 2 ） ； 【解析】 （ 1 ）由 ，得 ，得 ， 所以不等式 的解集为 ． （ 2 ）由不等式 ，可化为 ， 而 的解为 或 ， 所以不等式的解