2023-2024学年高中数学北师大版必修第一册 第1章 3.1 不等式的性质 (课件)

在初中的数学中，可以利用数轴比较任意两个实数a,b的大小。关于实数a,b大小的比较，有以下基本事实：如果a-b是正数，那么a>b；如果a-b等于0，那么a=b；如果a-b是负数，那么a<b。 探究一 不等式的性质(传递性)性质1 a>b且b>c，那么a>c分析：要证a>c只需证a-c>0证明：因为a>b且b>c 所以a-b>0，b-c>0 从而a-c=(a-b)+(b-c)>0，即a>c 性质2 a>b，那么a+c>b+c分析：要证a+c>b+c只需证(a+c)-(b+c)>0证明：因为a>b且a-b>0 所以(a+c)-(b+c)=a-b>0，即a+c>b+c(可加性) 性质3 性质4性质5特殊地，性质6 对于实数a,b,c,给出下列命题:①若a>b,则ac2>bc2;②若a<b<0,则a2>ab>b2;③若a>b,则a2>b2;其中,正确命题的序号是　　　. 【即时练习】② 【解析】直接利用不等式的基本性质逐一判断.对于①,∵c2≥0,∴只有c≠0时才成立,故①不正确;对于②,a<b<0⇒a2>ab;a<b<0⇒ab>b2,故②正确;对于③,若0>a>b,则a2<b2,如a=-1,b=-2,但(-1)2<(-2)2,故③不正确; 不等式的性质是证明不等式和解不等式的理论基础，必须熟练掌握，注意不等式性质中的条件.【规律总结】 你还有其他证明方法吗？探究二 不等式的性质的应用 证明： 还可以利用作差法. 1.比较下列两个代数式的大小:x2+3与3x;2.已知a,b均为正数,且a≠b,比较a3+b3与a2b+ab2的大小.提示：我们知道,a-b>0⇔a>b,a-b<0⇔a<b,因此,若要比较两个代数式的大小,只需作差,并与0作比较即可.【变式训练】 【解析】1.(x2+3)-3x=x2-3x+3 ∴x2+3>3x 2.(a3+b3)-(a2b+ab2)=a3+b3-a2b-ab2 =a2(a-b)-b2(a-b)=(a-b)(a2-b2) =(a-b)2(a+b). ∵a>0,b>0,且a≠b,∴(a-b)2>0,a+b>0. ∴(a3+b3)-(a2b+ab2)>0,即a3+b3>a2b+ab2. 例2 【规律总结】 【变式训练】D 不等式的性质核心知识方法总结易错提醒核心素养利用不等式性质判断正误的方法：(1)直接法:正确的说法利用不等式的相关性质或函数的相关性质证明; 说法错误的只需举出一个反例即可。(2)特殊值法:取值的原则:一是满足题设条件;二是取值要简单，便于验证计算;三是所取的值要有代表性.（1）不等式两边同乘或除以负数时，要变号;（2）同乘或除以代数式时，要注意代数式的正负分类讨论逻辑推理：通过等式性质，类比推理不等式性质，培养逻辑推理的核心素养数学建模：不等式的实际应用，培养数学建模的核心素养对称性，传递性同加保序性乘正保序性移项法则正数同向可乘性乘负反序性正数乘方保序性 1.设x＜a＜0，则下列不等式一定成立的是(　　)A．x2＜ax＜a2　　 B．x2＞ax＞a2C．x2＜a2＜ax D．x2＞a2＞axB【解析】选B.∵x＜a＜0，∴x2＞a2.∵x2－ax＝x(x－a)＞0，∴x2＞ax.又ax－a2＝a(x－a)＞0，∴ax＞a2.∴x2＞ax＞a2. 2．已知a>b，c>d，且cd≠0，则(　　)A．ad>bc B．ac>bcC．a＋c>b＋d D．a－c>b－dC【解析】选C.∵a>b，c>d，∴a＋c>b＋d. D 【解析】选D.