2021年天津市高考数学试卷（原卷全解析版）

2021 年天津市高考数学试卷 一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 ．（ 5 分）设集合 A ＝ { ﹣ 1 ， 0 ， 1} ， B ＝ {1 ， 3 ， 5} ， C ＝ {0 ， 2 ， 4} ，则（ A ∩ B ） ∪ C ＝（　　） A ． {0} B ． {0 ， 1 ， 3 ， 5} C ． {0 ， 1 ， 2 ， 4} D ． {0 ， 2 ， 3 ， 4} 2 ．（ 5 分）已知 a ∈ R ，则 “ a ＞ 6” 是 “ a 2 ＞ 36” 的（　　） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3 ．（ 5 分）函数 f （ x ）＝ 的图象大致为（　　） A ． B ． C ． D ． 4 ．（ 5 分）从某网络平台推荐的影视作品中抽取 400 部，统计其评分数据，将所得 400 个评分数据分为 8 组： [66 ， 70 ）， [70 ， 74 ）， … ， [94 ， 98 ），并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间 [82 ， 86 ）内的影视作品数量是（　　） A ． 20 B ． 40 C ． 64 D ． 80 5 ．（ 5 分）设 a ＝ log 2 0.3 ， b ＝ 0.4 ， c ＝ 0.4 0.3 ，则三者大小关系为（　　） A ． a ＜ b ＜ c B ． c ＜ a ＜ b C ． b ＜ c ＜ a D ． a ＜ c ＜ b 6 ．（ 5 分）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为 ，两个圆锥的高之比为 1 ： 3 ，则这两个圆锥的体积之和为（　　） A ． 3 π B ． 4 π C ． 9 π D ． 12 π 7 ．（ 5 分）若 2 a ＝ 5 b ＝ 10 ，则 + ＝（　　） A ．﹣ 1 B ． lg 7 C ． 1 D ． log 7 10 8 ．（ 5 分）已知双曲线 ﹣ ＝ 1 （ a ＞ 0 ， b ＞ 0 ）的右焦点与抛物线 y 2 ＝ 2 px （ p ＞ 0 ）的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于 A ， B 两点，交双曲线的渐近线于 C ， D 两点，若 | CD | ＝ | AB | ，则双曲线的离心率为（　　） A ． B ． C ． 2 D ． 3 9 ．（ 5 分）设 a ∈ R ，函数 f （ x ）＝ ，若函数 f （ x ）在区间（ 0 ， +∞ ）内恰有 6 个零点，则 a 的取值范围是（　　） A ．（ 2 ， ] ∪ （ ， ] B ．（ ， 2] ∪ （ ， ] C ．（ 2 ， ] ∪ [ ， 3 ） D ．（ ， 2 ） ∪ [ ， 3 ） 二．填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．试题中包含两个空的，答对 1 个的给 3 分，全部答对的给 5 分． 10 ．（ 5 分） i 是虚数单位，复数 ＝ 　 　 ． 11 ．（ 5 分）在（ 2 x 3 + ） 6 的展开式中， x 6 的系数是 　 　 ． 12 ．（ 5 分）若斜率为 的直线与 y 轴交于点 A ，与圆 x 2 + （ y ﹣ 1 ） 2 ＝ 1 相切于点 B ，则 | AB | ＝ 　 　 ． 13 ．（ 5 分）已知 a ＞ 0 ， b ＞ 0 ，则 + + b 的最小值为 　 　 ． 14 ．（ 5 分）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局．已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为 和 ，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为 　 　 ； 3 次活动中，甲至少获胜 2 次的概率为 　 　 ． 15 ．（ 5 分）在边长为 1 的等边三角形 ABC 中， D 为线段 BC 上的动点， DE ⊥ AB 且交 AB 于点 E ， DF ∥ AB 且交 AC 于点 F ，则 |2 + | 的值为 　 　 ；（ + ） • 的最小值为 　 　 ． 三．解答题：本大题共 5 小题，共 75 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16 ．（ 14 分）在 △ ABC 中，内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且 sin A ： sin B ： sin C ＝ 2 ： 1 ： ， b ＝ ． （ 1 ）求 a 的值； （ 2 ）求 cos C 的值； （ 3 ）求 sin （ 2 C ﹣ ）的值． 17 ．（ 15 分）如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD ﹣ A 1 B 1 C 1 D 1 中， E ， F 分别为棱 BC ， CD 的中点． （ 1 ）求证： D 1 F ∥ 平面 A 1 EC 1 ； （ 2 ）求直线 AC 1 与平面 A 1 EC 1 所成角的正弦值； （ 3 ）求二面角 A ﹣ A 1 C 1 ﹣ E 的正弦值． 18 ．（ 15 分）已知椭圆 + ＝ 1 （ a ＞ b ＞ 0 ）的右焦点为 F ，上顶点为 B ，离心率为 ，且 | BF | ＝ ． （ 1 ）求椭圆的标准方程； （ 2 ）直线 l 与椭圆有唯一的公共点 M ，与 y 轴的正半轴交于点 N ，过 N 与 BF 垂直的直线交 x 轴于点 P ．若 MP ∥ BF ，求直线 l 的方程． 19 ．（ 15 分）已知数列 { a n } 是公差为 2 的等差数列，其前 8 项的和为 64 ．数列 { b n } 是公比大于 0 的等比数列， b 1 ＝ 4 ， b 3 ﹣ b 2 ＝ 48 ． （ 1 ）求数列 { a n } 和 { b n } 的通项公式； （ 2 ）记 c n ＝ b 2 n + ， n ∈ N * ． （ i ）证明： {c n 2 ﹣ c 2 n } 是等比数列； （ ii ）证明： ＜ 2 （ n ∈ N * ）． 20 ．（ 16 分）已知 a ＞ 0 ，函数 f （ x ）＝ ax ﹣ xe x ． （ 1 ）求曲线 f （ x ）在点（ 0 ， f （ 0 ））处的切线方程； （ 2 ）证明函数 f （ x ）存在唯一的极值点； （ 3 ）若 ∃ a ，使得 f （ x ） ≤ a + b 对任意的 x ∈ R 恒成立，求实数 b 的取值范围． 2021 年天津市高考数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题：在每小题给出的四个选项