知识梳理·读教材01题型突破·析典例02知能演练·扣课标03目录CONTENTS
01知识梳理·读教材
传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家在沙滩上研究数学问题.他们研究数的概念时，喜欢把数描绘成沙滩上的小石子，小石子能够摆成不同的几何图形，于是就产生一系列的形数.毕达哥拉斯发现，当小石子的数目是1，3，6，10等数时，小石子都能摆成正三角形，如图①，他把这些数叫作三角形数；当小石子的数目是1，4，9，16等数时，小石子都能摆成正方形，如图②，他把这些数叫作正方形数，等等.一系列有形状的数按顺序排列出来就称为数列.
问题 （1）数列的有关概念是什么？（2）数列可分为哪几类？
知识点一 数列的概念及分类1.数列的概念（1）数列：按一定 次序 排列的一列数叫作数列；（2）项：数列中的每一个数叫作这个数列的 项 ； （3）数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…或简记为数列 {an} ，其中a1是数列的第1项，也叫数列的 首项 ；an是数列的第n项，也叫数列的 通项 .2.数列的分类项数有限的数列称为 有穷数列 ，项数无限的数列称为 无穷数列 .次序 项 {an} 首项 通项 有穷数列 无穷数列
提醒 （1）符号{an}和an是不同的概念，{an}表示一个数列，而an表示数列中的第n项；（2）在数列的定义中，并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. a，b，c，d和b，c，a，d是相同的数列吗？提示：不是.
知识点二 数列的通项公式如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成 an＝f（n） ，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式.an＝f（n） 提醒 （1）并非所有的数列都能写出它的通项公式.例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3，3.1，3.14，3.141，…，它没有通项公式；（2）一个数列的通项公式可以有不同的形式，如an＝（－1）n可以写成an＝（－1）n＋2，还可以写成an＝k∈N＋，这些通项公式虽然形式上不同，但都表示同一数列.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}.（ ）答案：（1）× （2）数列1，3，5，7，…的第10项是21.（ ）答案：（2）× （3）按从小到大排列的所有自然数构成一个无穷数列.（ ）答案：（3）√ （4）每一个数列都有通项公式.（ ）答案：（4）×
2.（多选）数列2，0，2，0，…的通项公式可以是（ ）A.an＝1＋（－1）n＋1B.an＝1－（－1）nC.an＝1＋（－1）nD.an＝1－cos nπ解析：经过验证知A、B、D均可以作为数列的通项公式，只有C不符合.
3.若数列{an}的通项公式是an＝n2－1，则该数列的第10项a10＝ ，224是该数列的第 项. 解析：a10＝102－1＝99.令an＝n2－1＝224，解得n＝15，即224是该数列的第15项.答案：99 15
02题型突破·析典例
题型一 数列概念的辨析【例1】 （多选）下列说法正确的是（ ）A.数列4，7，3，4的首项是4B.数列{an}中，若a1＝3，则从第2项起，各项均不等于3C.数列3，6，8可以表示为{3，6，8}D.数列2，5，2，5，…，2，5，…是无穷数列
解析 根据数列的相关概念，可知数列4，7，3，4的第1项就是首项，即4，故A正确.同一个数在一个数列中可以重复出现，故B错误.数列和数的顺序有关，集合中元素具有无序性，故C错误.由无穷数列的概念知，D正确，故选A、D.
通性通法数列概念理解的易错点（1）概念中的“一定次序”，即数列中的数是有序的，注意与数集的区别；（2）注意数列中的项与项的序号的区别；（3）注意有穷数列a1，a2，…，an与无穷数列a1，a2，…，an，…表示方法的区别.
下列说法正确的是（ ）A.数列1，3，5，7，…，2n－1可以表示为1，3，5，7，…B.数列1，0，－1，－2与数列－2，－1，0，1是相同的数列C.数列的第k项为1＋D.数列0，2，4，6，8，…可记为{2n}A.数列1，3，5，7，…，2n－1可以表示为1，3，5，7，…B.数列1，0，－1，－2与数列－2，－1，0，1是相同的数列D.数列0，2，4，6，8，…可记为{2n}解析：数列1，3，5，7，…，2n－1为有穷数列，而数列1，3，5，7，…为无穷数列，故A中说法错误；数的顺序不同就是两个不同的数列，故B中说法错误；在C中，ak＝＝1＋，故C中说法正确；在D中，an＝2n－2，故D中说法错误.
题型二 用观察法求数列的通项公式角度一：由数列的前几项求通项公式【例2】 写出下列各数列的一个通项
2023-2024学年北师大版高中数学选择性必修第二册数列的概念课件
