新课程标准解读核心素养了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题逻辑推理
目录CONTENTS01读教材·知识梳理0302研题型·典例精析扣课标·素养提升
五十多年前，清华大学数学系赵访熊教授(1908～1996)给大学一年级学生讲高等数学课时，总要先讲讲数学的基本概念和方法，他对数学归纳法所作的讲解极其生动，他讲了一个“公鸡归纳法”的故事：某主妇养小鸡十只，公母各半．她预备将母鸡养大留着生蛋，公鸡则养到一百天就陆续杀以佐餐．每天早晨她拿米喂鸡．到第一百天的早晨，其中的一只公鸡正在想：“第一天早晨有米吃，第二天早晨有米吃，……第九十九天早晨有米吃，所以今天，第一百天的早晨，一定有米吃．”这时，主妇来了，正好把这只公鸡抓去杀了．这只公鸡在第一百天的早晨不但没有吃着米，反而被杀了．虽然它已有九十九天吃米的经验，但不能证明第一百天一定有米吃．赵先生把这只公鸡的推理戏称为“公鸡归纳法”．
知识点 数学归纳法一个与自然数有关的命题，如果(1)当n＝n0时，命题成立；(2)在假设n＝k(其中k≥n0)时命题成立的前提下，能够推出n＝k＋1时命题也成立．那么，这个命题对大于等于n0的所有自然数都成立，这种证明方法称为数学归纳法．
1．用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n－2)π”时，归纳奠基中n0的取值应为 ( )A．1 B．2C．3 D．4解析：根据凸n边形至少有3条边，知n≥3，故n0的取值应为3.C
证明：(1)当n＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右边，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立，即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2.那么，当n＝k＋1时，1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)·[3(k＋1)＋1]＝k(k＋1)2＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝(k＋1)(k2＋4k＋4)＝(k＋1)[(k＋1)＋1]2，即当n＝k＋1时等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任何n∈N＋都成立．
|通性通法|对于与正整数有关的不等式的证明，如果用其他方法证明比较困难，此时可考虑使用数学归纳法证明．使用数学归纳法的难点在第二个步骤上，这时除了一定要运用归纳假设外，还要较多地运用不等式证明的其他方法(如拆、添、并、放、缩)，对所要证明的不等式加以变形，寻求其与归纳假设相联系的突破口．
|通性通法|证明整除性问题的关键是“凑项”，可采用增项、减项、拆项和因式分解等手段凑出n＝k时的情形，从而利用归纳假设使问题得到证明．
|通性通法|“归纳—猜想—证明”模式的解题方法(1)观察：由已知条件写出前几项；(2)归纳：根据前几项的规律，找到项与项数的关系；(3)猜想：猜想一般项的表达式；(4)证明：用数学归纳法证明猜想的结论．
D
B
D
4．用数学归纳法证明“n3＋5n能被6整除”的过程中，当n＝k＋1时，对式子(k＋1)3＋5(k＋1)应变形为______________________．解析：采取配凑法，凑出归纳假设k3＋5k，(k＋1)3＋5(k＋1)＝k3＋3k2＋3k＋1＋5k＋5＝(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6.(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6
C
A
3．用数学归纳法证明n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2(n∈N＋)时，若记f(n)＝n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)，则f(k＋1)－f(k)等于 ( )A．3k－1 B．3k＋1C．8k D．9k解析：因为f(k)＝k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)，f(k＋1)＝(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＋(3k－1)＋3k＋(3k＋1)，则f(k＋1)－f(k)＝3k－1＋3k＋3k＋1－k＝8k.C
4．若k(k≥3，k∈N＋)棱柱有f(k)个对角面，则k＋1棱柱的对角面个数f(k＋1)为 ( )A．f(k)＋k－1 B．f(k)＋k＋1C．f(k)＋k D．f(k)＋k－2解析：三棱柱有0个对角面；四棱柱有2个对角面(0＋2＝0＋(3－1))；五棱柱有5个对角面(2＋3＝2＋(4－1))；六棱柱有9个对角面；(5＋4＝5＋(5－1))．猜想：若k棱柱有f(k)个对角面，则k＋1棱柱有f(k)＋k－1个对角面．故选A.A
C
A
7．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，当第二步假设n＝2k－1(k∈N＋)命题为真时，进而需证n＝________时，命题亦真．解析：∵n为正奇数，且与2k－1相邻的下一个奇数是2k＋1，∴需证n＝2k＋1时，命题成立．2k＋1
8．用数学归纳法证明“当n∈N＋时，求证：1＋2＋22＋23＋…＋25n－1是31的倍数”时，当n＝1时，原式为________________，从n＝k到n＝k＋1时需增添的项是_______________________________．解析：当n＝1时，原式应加到25×1－1＝24，所以原式为1＋2＋22＋23＋24，从n＝k到n＝k＋1时需添25k＋25k＋1＋…＋25(k＋1)－1.1＋2＋22＋23＋2425k＋25k＋1＋25k＋2＋25k＋3＋25k＋4
k＋1
A
14．对任意n∈N＋，34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a＝________．解析：当n＝1时，36＋a3能被14整除的数为a＝3或5; 当a＝3且n＝2时，310＋35不能被14整除，故a＝5.5
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2023-2024学年人教B版高中数学选择性必修第三册 5.5 数学归纳法 课件
