2023-2024学年北师大版高中数学选择性必修第一册 计数原理及其简单应用 课件

从我们班推选出两名同学担任班长，有多少种不同的选法？如果把我们的同学排成一排，又有多少种不同的排法？要解决这些问题，就要运用有关排列、组合知识.在运用排列、组合方法时，经常要用到分类加法计数原理与分步乘法计数原理.这节课，我们来学习这两个原理.导语 随堂演练课时对点练一、分类加法计数原理二、分步乘法计数原理三、两个原理的简单应用内容索引 一、分类加法计数原理 问题1　某全国人大代表明天要从济南前往北京参加会议，他有两类快捷途径可供选择：一是乘飞机，二是乘高铁，假如这天飞机有3个航班可乘，高铁有4个班次可乘.那么该代表从济南到北京共有多少种快捷途径可选呢？提示　该代表共有3＋4＝7(种)快捷途径可选. 知识梳理分类加法计数原理完成一件事，可以有n类办法，在第1类办法中有m1种方法，在第2类办法中有m2种方法……在第n类办法中有mn种方法.那么，完成这件事共有N＝ 种方法.(也称“加法原理”)注意点：(1)完成这件事的若干种方法可以分成n类；(2)每类方法都可以完成这件事，且类与类之间两两不交.m1＋m2＋…＋mn 例1　(1)设集合A＝{1,2,3,4}，m，n∈A，则方程 表示焦点位于x轴上的椭圆有A.6个 B.8个C.12个 D.16个√解析　因为椭圆的焦点在x轴上，所以m>n.当m＝4时，n＝1,2,3；当m＝3时，n＝1,2；当m＝2时，n＝1，即所求的椭圆共有3＋2＋1＝6(个). 延伸探究　条件不变，结论变为“则方程 表示焦点位于x轴上的双曲线”有A.6个 B.8个C.12个 D.16个√解析　因为双曲线的焦点在x轴上，所以m＞0，n＞0，当m＝1时，n＝1,2,3,4；当m＝2时，n＝1,2,3,4；当m＝3时，n＝1,2,3,4；当m＝4时，n＝1,2,3,4，即所求的双曲线共有4＋4＋4＋4＝16(个). (2)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为___.36 解析　方法一　根据题意，将十位上的数字按1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个.由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个).方法二　分析个位数字，可分以下几类：个位数字是9，则十位数字可以是1,2,3，…，8中的一个，故共有8个；个位数字是8，则十位数字可以是1,2,3，…，7中的一个，故共有7个；同理，个位数字是7的有6个；…… 个位数字是2的有1个.由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个). 反思感悟　(1)分类时，首先要根据问题的特点确定一个合适的分类标准，然后在这个标准下分类，要做到分类“不重不漏”.(2)利用分类加法计数原理计数时的解题流程. 跟踪训练1　(1)一个科技小组有3名男同学，5名女同学，从中任选1名同学参加学科竞赛，不同的选派方法共有___种.8解析　任选1名同学参加学科竞赛，有两类方案：第一类，从男同学中选取1名参加学科竞赛，有3种不同的选法；第二类，从女同学中选取1名参加学科竞赛，有5种不同的选法.由分类加法计数原理得，不同的选派方法共有3＋5＝8(种). (2)若x，y∈N＋，且x＋y≤6，则有序自然数对(x，y)共有___个.15解析　将满足条件x，y∈N＋，且x＋y≤6的x的值进行分类：当x＝1时，y可取的值为5,4,3,2,1，共5个；当x＝2时，y可取的值为4,3,2,1，共4个；当x＝3时，y可取的值为3,2,1，共3个；当x＝4时，y可取的值为2,1，共2个；当x＝5时，y可取的值为1，共1个.即当x＝1,2,3,4,5时，y的值依次有5,4,3,2,1个，由分类加法计数原理得，不同的数对(x，y)共有5＋4＋3＋2＋1＝15(个). 二、分步乘法计数原理 问题2　用前6个大写英文字母和1～9九个阿拉伯数字，以A1，A2，…，B1，B2，…的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？提示　编写一个号码要先确定一个英文字母，后确定一个阿拉伯数字，由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任何一个组成一个号码，而且它们各不相同，因此共有6×9＝54(个)不同的号码. 知识梳理分步乘法计数原理完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，那么，完成这件事共有N＝ 种方法.(也称“乘法原理”)注意点：(1)完成一件事有多个步骤，缺一不可；(2)每一步都有若干种方法.m1·m2·…·mn 例2　(1)4名同学报名参加跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，不同的报名方法数有A.43 B.34 C.7 D.12解析　要完成的是“4名同学每人从三个项目中选一项报名”这件事，因为每人必报一项，四人都报完才算完成，于是按人分步，且分为四步，又每人可在三项中选一项，选法为3种，所以共有3×3×3×3＝34(种)报名方法.√ 延伸探究　4名同学争夺跑步、跳高、跳远三个项目的冠军(每项冠军只允许一人获得)，共有多少种可能的结果？解　要完成的是“三个项目冠军的获取”这件事，因为每项冠军只能有一人获得，三项冠军都有得主，这件事才算完成，于是应以“确定三项冠军得主”为线索进行分步，而每项冠军是四人中