2023-2024学年人教A版选择性必修第一册 2.1.1　倾斜角与斜率(课件)

第二章　直线和圆的方程2.1　直线的倾斜角与斜率2.1.1　倾斜角与斜率 课程标准素养目标1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,经历用代数方法刻画直线斜率的过程,掌握过两点的直线斜率的计算公式.1.通过对直线倾斜角及斜率的学习,体会用代数方法刻画直线斜率的过程(数学抽象).2.通过坐标法的引入,学会联系、对应、转化等辩证思维(数学运算).3.初步了解数形结合、分类讨论的数学思想方法(数学抽象). 课前自主学习主题1　直线的倾斜角1.对于平面直角坐标系内的一条直线l,它的位置由哪些条件确定呢?一点能确定一条直线吗?提示:对于平面直角坐标系内的一条直线l,它的位置可以由直线上的两点或一点及该直线与x轴正方向的夹角来确定.过一点不能确定一条直线.2.过平面内的一点P可作多少条直线,这些直线的区别在哪里呢?如何表示这些直线的倾斜程度?提示:过一点P可作无数条直线?这些直线的倾斜程度不同.可以参照直线与x轴的夹角来描述直线相对于x轴的倾斜程度. 结论:倾斜角的定义1.当直线l与x轴相交时,我们以x轴为基准,x轴正向与直线l_____的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.2.当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为___.3.直线的倾斜角α的取值范围是__________.向上0°0°≤α<180° 【对点练】一条直线l与x轴相交,其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°),则其倾斜角为 (　　)A.α B.180°-αC.180°-α或90°-α D.90°+α或90°-α【解析】选D.如图,当l向上方向的部分在y轴左侧时,倾斜角为90°+α;当l向上方向的部分在y轴右侧时,倾斜角为90°-α. (x1≠x2)  【对点练】已知点A(a,2),B(3,b+1),且直线AB的倾斜角为90°,则 (　　)A.a=3,b=1 B.a=2,b=2C.a=2,b=3 D.a=3,b∈R且b≠1【解析】选D.因为A(a,2),B(3,b+1),且直线AB的倾斜角为90°,所以即即a=3,b∈R且b≠1.  主题3　直线的斜率观察下图:1.图中三条直线的倾斜程度大小如何?提示:直线l3的倾斜程度最大,l1的倾斜程度最小.2.直线的倾斜角与直线的斜率有怎样的关系?提示:当直线的倾斜角不等于90°时,倾斜角的正切值即为直线的斜率. 结论:　斜率与倾斜角的关系90°k=0k>0k<0 【对点练】1.若A,B两点的横坐标相等,则直线AB的倾斜角和斜率分别是 (　　)A.45°,1 B.135°,-1C.90°,不存在 D.180°,不存在【解析】选C.由于A,B两点的横坐标相等,所以直线与x轴垂直,倾斜角为90°,斜率不存在.2.直线l过点A(1,2),且不过第四象限,则直线l的斜率k的最大值是 (　　)A.0 B.1 C. D.2【解析】选D.由题知,当l与x轴平行时斜率k最小,当l过原点时斜率k最大为2.  主题4　直线的斜率公式在平面直角坐标系中画出过点P1(1,2)和P2(2,3)的直线l,并求出其倾斜角与斜率.提示:直线l如图所示:过点P1作P1Q平行于x轴,过点P2作P2Q垂直于x轴交P1Q于Q点,则Q点坐标为(2,2),所以|P1Q|=1,|P2Q|=1,所以∠P2P1Q=45°,即直线l的倾斜角为45°,所以直线l的斜率k=tan 45°=1.结论:直线的斜率公式经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k=. (x1≠x2)  【对点练】1.若直线l经过A(2,1),B(1,-m2)(m∈R)两点,则直线l的倾斜角α的取值范围是 (　　)A.0<α< B.<α<πC.≤α< D.<α<【解析】选C.根据题意,直线l经过A(2,1),B(1,-m2),则直线l的斜率k==1+m2,又由m∈R,则k=1+m2≥1,有tan α=k≥1,又由0≤α<π,则≤α<.  2.(多选题)(2023·广州高二检测)下列说法正确的是 (　　)A.直线的倾斜角α的取值范围是0≤α<πB.若直线的斜率为tan α,则该直线的倾斜角为αC.平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角,但不一定有斜率D.直线的倾斜角越大,其斜率就越大【解析】选AC.对于A,直线的倾斜角α的取值范围为0≤α<π,正确;对于B,若直线斜率为tan α,则该直线的倾斜角为[0,π)内正切值为tan α的角,错误;对于C,平面内所有直线都有倾斜角,当倾斜角为90°时没有斜率,正确;对于D,倾斜角为锐角时斜率为正,倾斜角为钝角时斜率为负,错误. 探究点一　直线的倾斜角【典例1】(1)下列命题正确的是 (　　)A.两条不重合的直线,如果它们的倾斜角相等,那么这两条直线平行B.若一条直线的倾斜角为α,则此直线的斜率为tan αC.若α,2α,3α分别为三条直线的倾斜角,则α的度数可以大于60°D.若α是直线l的倾斜角,且tan α=,则α=45°(2)已知直线l1的倾斜角α1=15°,直线l1与l2的交点为A,直线l1和l2向上的方向所成的角为120°,如图,则直线l2的倾斜角为_________.  课堂合作探究 【思维导引】(1)按照倾斜角的定义及倾斜角的范围求解.(2)根据直线倾斜角的定义及三角形的外角定理求解.【解析】(1)选A.由平行线的判定可得倾斜角相等的直线互相平行或重合.所以A正确;因为0°≤α<180°,所以当α=90°,此时直线不存在斜率,B错;α>60°时,3α>180°,与倾斜角的范围矛盾,C错;tan 45°=1,D错.(2)设直线l2的倾斜角为α2,由l1和l2向上的方向所成的角为120°,所以∠BAC=120°,所以α2=120°+α1=135°.答案:135° 　【类题通法】求直线倾斜角的方法及关注点 【定向训练】已知直线l过点A(2a,3)和点B(2,-1),分别求出满足下列条件的a的取值或取值范围.(1)直线l的倾斜角为直角;(