第2章2.3.2 两条直线的交点坐标
课标要求1.掌握两条直线的位置关系中的相交几何意义,并能根据已知条件求出两条直线的交点坐标;2.能够根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系;3.能根据两条直线相交的性质求待定参数.
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基础落实·必备知识全过关
知识点两直线的交点坐标设两条直线方程分别为l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,两条直线的位置关系与对应直线方程组成的方程组的解的关系方程组的解的情况一组解无解无数组解直线l1与l2的公共点个数一个零个无数个直线l1与l2的位置关系 相交 平行重合
名师点睛1.点与直线关系的几何意义及其表示几何元素及关系代数表示点MM(a,b)直线ll:Ax+By+C=0(A,B不同时为0)点M在直线l上Aa+Bb+C=0直线l1与l2的交点是M方程组 的解是
2.两直线的交点坐标与两直线的方程构成的方程组之间的关系如果两条直线相交,则交点一定同时在这两条直线上,且交点坐标是这两个直线方程的唯一公共解;如果这两个二元一次方程组成的方程组只有一个解,那么以这个解为坐标的点必是l1和l2的交点.
过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)两直线方程构成的方程组可以有两个解.( )(2)若两直线方程构成的方程组的解集不是空集,则两直线不会平行.( )(3)两直线方程构成的方程组的解集最多只有一个元素.( )× √ ×
2.若直线l1:x-2y=0与l2:2x-ay+3=0构成的方程组无解,则实数a的值为( )A.2 B.3C.-2 D.4D 解析 依题意,直线l1,l2构成的方程组无解,则两直线平行,即(-a)-(-2)×2=0,且1×3-2×0≠0,解得a=4.
3.若直线l1:x+ay-4=0与直线l2:bx-y+5=0的交点坐标是P(2,1),则a= ,b= . 2-2解析 将P(2,1)代入直线l1:x+ay-4=0,得2+a-4=0,解得a=2;将P(2,1)代入直线l2:bx-y+5=0的方程可得2b-1+5=0,解得b=-2.
重难探究·能力素养全提升
探究点一 两直线的交点坐标的求法【例1】 判断下列各组中两条直线之间的位置关系.如果相交,求出交点的坐标:(1)l1:x-y=0, l2:3x+3y-10=0;(2)l1:3x-y+4=0, l2:6x-2y-1=0;(3)l1:3x+4y-5=0, l2:6x+8y-10=0.分析 联立两直线的方程构成的方程组,通过方程组是否有解及解的个数,确定直线位置关系及交点的坐标.
①×2-②得9=0,矛盾.由此可知方程组无解,所以直线l1与l2平行.
①×2得6x+8y-10=0.说明方程②是方程①的2倍,方程①的解都是方程②的解.因此直线l1与l2重合.
规律方法 根据两相交直线的直线方程求直线的交点的方法将两条直线的方程联立,得方程组 若方程组有唯一解,则两直线相交,此解就是交点的坐标;若方程组无解,则两直线无公共点,此时两直线平行;若方程组有无数组解,则两直线重合.
变式训练1判断下列各组中直线的位置关系.如果相交,求出交点的坐标:(1)l1:2x-3y=7, l2:4x+2y=1;
②×6得6y=2x+4,整理得2x-6y+4=0,说明方程①是方程②的6倍,方程②的解都是方程①的解.因此直线l1与l2重合.
探究点二 过两直线的交点的直线方程的求法【例2】 求经过直线3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交点,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.分析 解方程组求出两直线的交点坐标,利用条件求出直线的方程,也可以设过两直线的交点的直线方程,利用条件求解.
当直线在两坐标轴上的截距不为0时,设直线的方程为x+y=a,将点(-4,3)代入可得a=-1,整理得直线方程为x+y+1=0.综上所述,所求直线方程为x+y+1=0或3x+4y=0.(方法2)由于直线2x+5y-7=0在两坐标轴上的截距不相等,设直线方程为3x+2y+6+λ(2x+5y-7)=0,即(3+2λ)x+(2+5λ)y+6-7λ=0.
规律方法 过两直线的交点的直线方程的求法 方法过程结论方程组法解方程组求出交点坐标根据交点及其他条件求解直线系法先设出过两条直线交点的直线方程利用条件求直线系中的参数得方程说明:过两条直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(不包括l2的方程)(其中λ为参数).
变式训练2求经过两直线l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交点P,且与直线l3:3x-4y+5=0垂直的直线l的方程.(方法2)∵直线l过直线l1和l2的交点,∴可设直线l的方程为x-2y+4+λ(x+y-2)=0,即(1+λ)x+(λ-2)y+4-2λ=0.∵l与l3垂直,∴3(1+λ)+(-4)(λ-2)=0,解得λ=11.∴直线l的方程为12x+9y-18=0,整理得4x+3y-6=0.
探究点三 直线过定点问题【例3】 求证:不论m取什么实数,直线(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0都经过一个定点.求出这个定点的坐标.证明(方法1)对于方程(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0,令m=0,得x-3y-11=0;令m=1,得x+4y+10=0.将点(2,-3)代入已知直线方程左边,得(2m-1)×2+(m+3)×(-3)-(m-11)=4m-2-3m-9-m+11=0.这表明不论m为什么实数,所给直线均经过定点(2,-3).
(方法2)以m为未知数,整理为(2x+y-1)m+(-x+3y+11)=0. 所以不论m取什么实数,该直线都经过定点(2,-3).
规律方法 求解含有参数的直线过定点问题的方法(1)给直线中的参数任意赋两个不同的值,得到两条不同的直线,然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数
2023-2024学年高中数学湘教版选择性必修第一册 2.3两条直线的位置关系2.3.2两条直线的交点坐标 课件
