1基础落实·必备知识全过关2重难探究·能力素养全提升
课程标准1.理解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求正弦函数、余弦函数的周期，并会应用.3.掌握正弦函数、余弦函数的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性.
01基础落实·必备知识全过关
知识点1 函数的周期性1.周期函数的定义一般地，设函数的___________，如果存在一个______，使得对每一个,都有,且_________，那么函数就叫做周期函数.非零常数叫做这个函数的周期.2.最小正周期的定义如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的______，那么这个最小______就叫做的最小正周期. 定义域为<m></m> 非零<m></m> 正数正数
1.对周期函数与周期定义中的“对每一个”，要特别注意“每一个”的要求.如果只是对某些有，那么不一定是的周期.2.自变量本身加的常数才是函数的周期，如中不是函数的周期，才是函数的周期，因为. 名师点睛
过关自诊1.判断正误.（正确的画，错误的画） （1）所有的函数都有最小正周期.( ) ×（2）因为，所以是函数的一个周期.() ×2.周期函数的周期是否唯一？提示 不唯一.3.若存在正数,使,则函数的一个周期为__________________. <m></m>（答案不唯一）
知识点2 正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性函数周期最小正周期奇偶性奇函数偶函数
名师点睛函数和的周期：（1）函数（其中，，为常数，且，）的最小正周期.（2）函数（其中，，为常数，且，）的最小正周期.
过关自诊1.函数满足什么条件时为奇函数、偶函数？满足什么条件时为奇函数、偶函数？其中,,为常数,且,. 提示根据诱导公式.当,时,为偶函数;当,时,为奇函数.当,时,为奇函数;当,时,为偶函数. 2.下列函数中周期为,且为偶函数的是() CA.B.C.D. [解析]显然周期为的有A和C,又是偶函数,故选C.
3.下列四个函数中,图象关于轴对称的是() BA.B.C.D. [解析]函数图象关于轴对称,则函数为偶函数,故选B.
02重难探究·能力素养全提升
探究点一 三角函数的周期问题及简单应用【例1】 求下列三角函数的最小正周期:（1）,; 解 由题可知,函数的最小正周期. （2）,; 由题可知,函数的最小正周期. （3）,; 由题可知,函数的最小正周期.
（4）,. 函数的图象如图（实线部分）所示. 由图象可知,的最小正周期为.
规律方法求三角函数的最小正周期的常用方法求三角函数的最小正周期,一般有两种方法:（1）公式法,即先将函数化为或（其中,,,均为常数,,）的形式,再利用求得;（2）图象法,即作出函数的图象,通过观察得到最小正周期.
变式训练1 求下列函数的最小正周期:（1）; 解 因为,所以,所以函数的最小正周期.
作出的图象,如图所示,易知的最小正周期为. （2）.
探究点二 三角函数的奇偶性及其应用【例2】 判断下列函数的奇偶性:（1）; 解 函数的定义域为.,函数是偶函数.
（2）; ,.,函数是偶函数.
（3）. 由题意可知,则函数的定义域为.显然定义域不关于原点对称,故函数既不是奇函数，也不是偶函数.
规律方法 判断函数奇偶性的常用方法:定义法图象法作出函数的图象,由图象的对称性确定其奇偶性验证法 提醒:判断函数奇偶性时,必须先判断其定义域是否关于原点对称.
变式训练2 判断下列函数的奇偶性:（1）; 解函数的定义域为,,.为奇函数. （2）； 函数的定义域为,.为偶函数.
（3）. 由且,得,从而,,此时,故该函数既是奇函数又是偶函数.
探究点三 函数奇偶性与周期性的综合问题【例3】定义在上的函数既是偶函数,又是周期函数,若的最小正周期为,且当时,,则等于() DA.B.C.D. [解析]由题知故选D.
变式探究1若将例3中的“偶函数”改为“奇函数”,其他条件不变,求的值. 解. 变式探究2若例3条件不变,求的值. 解因为,,所以. 规律方法 当函数值的出现具有一定的周期性时,可以先研究它在一个周期内的函数值的变化情况,再予以推广求值.
[解析]当时,,则.因为当时,,所以.因为是周期为2的奇函数,所以. 变式训练3设是周期为2的奇函数,当时,,则时,_________________. <m></m>
2023-2024学年人教A版高中数学必修第一册 5.4.2正弦函数余弦函数的性质第1课时周期性奇偶性 课件
