1基础落实·必备知识全过关2重难探究·能力素养全提升
课程标准1.能运用和差角的正弦、余弦公式及二倍角公式等进行简单的恒等变换（包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆）.2.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值和证明.
01基础落实·必备知识全过关
知识点1 半角公式，,.名师点睛1.若没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号；2.若给出了角的具体范围，则先求所在范围，再根据所在范围确定符号;
3.若给出的角是某一象限的角，则根据下表决定符号: 第一象限第一或第三象限第二象限第一或第三象限第三象限第二或第四象限-第四象限第二或第四象限-4.正切半角的有理形式:.
过关自诊1.判断正误.（正确的画，错误的画） （1）.() ×（2）对于,都不成立.() ×（3）若,,则.() ×
2.［苏教版教材例题］已知,求,,的值. 解,,.
知识点2 辅助角公式辅助角公式,其中,所在的象限由,的符号决定.名师点睛辅助角公式：公式的推导.,令,,则其中角所在象限由,的符号确定，角的值由确定，或由和共同确定.
微拓展用来表示的正弦、余弦、正切.,,.
过关自诊1.函数在上的值域是_______. <m></m> [解析].又,.,.
2.［北师大版教材习题］求函数的最小正周期. 解.因为的最小正周期,所以的最小正周期为.
知识点3 积化和差、和差化积公式（补充）1.积化和差公式（1）;（2）;（3）;（4）.
2.和差化积公式（1）;（2）;（3）;（4）.
过关自诊1.［苏教版教材例题］求的值. 解原式. 2.［北师大版教材例题］把化为积的形式. 解.
02重难探究·能力素养全提升
探究点一 半角公式的应用角度1.用半角公式解决求值问题【例1】已知,且,求,,,的值. 解因为,且,所以.又,故,
,.又因为,所以.
规律方法已知的某个三角函数值,求的三角函数值的步骤:（1）利用同角三角函数基本关系式求得的其他三角函数值;（2）确定角的取值范围;（3）代入相应的半角公式计算.
变式训练1已知,且,求. 解,,即是第二象限角,,.
角度2.用半角公式解决证明问题【例2】求证:. 证明当时，,左边
右边；当时，,左边右边.综上，原等式成立.
规律方法 证明问题中的“三变” （1）变角:三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系,通过拆、凑等手段消除角之间的差异,合理选择联系它们的公式. （2）变名:观察三角函数种类的差异,尽量统一函数的名称,如统一为弦或统一为切. （3）变式:观察式子的结构形式的差异,选择适当的变形途径.如升幂、降幂、配方、开方等.
探究点二 积化和差、和差化积公式的应用【例3】（1）已知,求. 解,,.又,.
（2）求证:. 证明左边.
变式探究在例中，若不利用积化和差公式,如何求解? 解,,,,即.又,. 规律方法 1.当条件或结论式比较复杂时,往往先将它们化为最简形式,再求解. 2.当要证明的不等式一边复杂,另一边非常简单时,往往从复杂的一边入手证明,类似于化简.
变式训练2已知,.求证:. 证明由题意知,,,①.②两式平方相加,得.
探究点三 辅助角公式的应用【例4】将下列各式化为的形式: （1）; 解.
（2）; .
（3）. . 规律方法将三角函数化为的步骤（1）将运用二倍角公式化为,对,运用降幂公式,对,运用两角和与差的公式展开.（2）将（1）中得到的式子利用化为的形式.
变式训练3［北师大版教材习题］求函数的单调递增区间. 解.令,,解得,.故函数的单调递增区间为.
2023-2024学年人教A版高中数学必修第一册 5.5.2简单的三角恒等变换 课件
