第二课时 向量数量积的运算
知识梳理·读教材01题型突破·析典例02知能演练·扣课标03目录CONTENTS
01知识梳理·读教材
通过前面的学习，我们知道向量的加法运算满足交换律、结合律，向量的数乘运算满足结合律即λ（μa）＝（λμ）a，分配律即（λ＋μ）a＝λa＋μa（λ，μ∈R）.问题 （1） 向量的数量积是否也满足交换律，数乘结合律及数量积对向量加法分配律？（2）平方差公式、完全平方公式在向量运算中是否成立？
（3）向量的模、两向量的类角如何计算？
知识点 向量数量积的运算律1.向量数量积的运算律（1）a·b＝ b·a （交换律）；（2）（λa）·b＝ λ（a·b） ＝ a· （λb） （结合律）； （3）（a＋b）·c＝ a·c＋b·c （分配律）.b·a λ（a·b） a· （λb） a·c＋b·c
2.向量数量积的常用结论（1）（a±b）2＝｜a±b｜2＝｜a｜2±2a·b＋｜b｜2＝a2±2a·b＋b2；（2）a2－b2＝（a＋b）·（a－b）＝｜a｜2－｜b｜2；（3）（a＋b）2＋（a－b）2＝2（｜a｜2＋｜b｜2）；（4）a2＋b2＝0⇔a＝b＝0.提醒 （1）向量的数量积不满足消除律：若a，b，c均为非零向量，且a·c＝b·c，但得不到a＝b；（2）（a·b）·c≠a·（b·c），因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以（a·b）·c与向量c共线，a·（b·c）与向量a共线，因此，（a·b）·c＝a·（b·c）在一般情况下不成立.
1.向量的数量积与向量的数乘运算结果相同吗？提示：不相同，向量的数量积运算结果是一个实数，向量的数乘运算结果是向量.2.已知非零向量a，b，a与b的夹角为θ，若a·b＜0，则θ是钝角对吗？提示：不对.若θ＝π时，a·b＜0.
1.已知｜a｜＝2，｜b｜＝3，则（2a－3b）·（2a＋3b）＝ . 解析：（2a－3b）·（2a＋3b）＝4a2－9b2＝4×4－9×9＝－65.答案：－652.已知｜a｜＝1，｜b｜＝，且（a＋b）与a 垂直，则a与b的夹角是 . 解析：∵（a＋b）·a＝a2＋a·b＝0.∴a·b＝－a2＝－1.设a与b的夹角为θ，∴cos θ＝＝＝－，又θ∈[0，π]，∴θ＝. 答案：π
3.已知向量a，b的夹角为60°，｜a｜＝2，｜b｜＝1，则｜a＋2b｜＝ . 解析：法一 ｜a＋2b｜＝＝＝＝＝2. 法二（数形结合法） 由｜a｜＝｜2b｜＝2知，以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则｜a＋2b｜＝｜｜.又∠AOB＝60°，所以｜a＋2b｜＝2. 答案：2
02题型突破·析典例
题型一数量积求解的综合问题【例1】 （1）已知｜a｜＝2，｜b｜＝3，a与b的夹角为120°，则（2a－b）·（a＋3b）＝ ； 解析 （1）（2a－b）·（a＋3b）＝2a2＋5a·b－3b2＝2｜a｜2＋5｜a｜｜b｜cos 120°－3｜b｜2＝8－15－27＝－34.答案 （1）－34
（2）如图所示，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3 ，·＝2，则·＝ . 解析 （2）由＝3，得＝＝，＝＋＝＋，＝－＝＋－＝－.因为·＝2，所以（＋）·（－）＝2，即－·－＝2.又＝25，＝64，所以·＝22. 答案 （2）22
通性通法数量积运算的综合问题一般涉及两类（1）求含向量线性运算的数量积：利用向量数量积的运算律转化为直接利用公式求解的问题；（2）涉及含几何图形的数量积求解：借助图形先将两向量分别用已知向量线性表示，然后再转化为含线性运算的数量积求解.
1.已知｜a｜＝5，｜b｜＝4，a与b的夹角为120°，则（a－2b）·（a＋b）＝ . 解析：a·b＝｜a｜｜b｜cos θ＝5×4×cos 120°＝－10.（a－2b）·（a＋b）＝a2－a·b－2b2＝｜a｜2－｜a｜｜b｜·cos 120°－2｜b｜2＝25－（－10）－2×42＝3.答案：3
2.在边长为1的正三角形ABC中，设＝2，＝3，则·＝ . 解析：由已知得＝（＋），＝，＝＋＝－，·＝（＋）·（－）＝×（｜｜2－｜｜2－·）＝×（－1－cos 60°）＝－. 答案：－
题型二向量模的计算【例2】 已知｜a｜＝2，｜b｜＝1，向量a，b的夹角为60°，那么｜a－4b｜＝（ ）A.2B.2C.6D.12A.2C.6D.12解析 ∵｜a－4b｜2＝a2－8a·b＋16b2＝22－8×2×1×cos 60°＋16×12＝12，∴｜a－4b｜＝2.
通性通法求向量的模的基本思路 a·a＝a2＝｜a｜2或｜a｜＝是求向量的模及用向量求解图形中线段长度的依据.这种通过求自身的数量积从而求模的思想是解决向量的模的问题的主要方法.此外，根据平面图形求向量的模时，要注意利用图形的性质对向量的数量积或夹角等进行转化.
2023-2024学年人教A版高中数学必修第二册 6.2.4 第二课时 向量数量积的运算 课件
