2023-2024学年高中数学人教A版必修第一册 1.4.充分条件与必要条件 第2课时 充要条件 课件(共18张PPT)

1.4 充分条件与必要条件第2课时 充要条件 1.如何理解: (1) p是q的充分条件； (2) p是q的必要条件.一、复习提问由条件p⇒结论q,则条件p是结论q成立的充分条件;由结论q⇒条件p,则条件p是结论q成立的必要条件. 2.指出下列各命题中,p是q的什么条件?(1) p:两个角是对顶角, q:两个角相等；(2) p: xy=0, q: x=0；(3) p:内错角相等, q:两直线平行；(4) p:偶数, q:能被2整除.充分条件必要条件充分、必要条件充分、必要条件 3.已知p:整数a是6的倍数,q:整数a是2和3的倍数.请问:p是q的什么条件? q是p的什么条件?既充分又必要条件 1.逆命题：将命题“若p,则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q,则p”,称这个命题为原命题的逆命题.二、获得新知2.充要条件：如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p”均是真命题，即既有p⇒q,又有q⇒p,就记作p⇔q.此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，就说p是q的充分必要条件，简称为充要条件.说明：（1）若p⇔q，则p与q互为充要条件；（2）符号“⇔”称为等价符号，“p⇔q”表示:“p⇒q且q⇒p ”（或p等价于q）. 例1.指出下列各组命题中,p是q的什么条件？ (在“充分而不必要”、“必要而不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一种)(1)p:(x-2)(x-3)=0， q:x-2=0 ；(2)p:同位角相等， q:两直线平行；(3)p:x=3，q:x2=9；(4)p:四边形的对角线相等， q:四边形是平行四边形.三、应用举例必要不充分充要充分不必要既不充分又不必要 例2.下列命题中,p是q的什么条件?(1)p:x是6的倍数，q:x是2的倍数；(2)p:x是2的倍数， q:x是6的倍数；(3)p:x既是2的倍数也是3的倍数，q:x是6的倍数；(4)p:x是4的倍数， q:x是6的倍数.必要不充分充要充分不必要既不充分又不必要 例3.下列命题中,哪些p是q的充要条件?(1)p:两个三角形相似, q:两个三角形三边成比例；(2)p: x>0,y>0, q:xy>0；(3)p:a>b, q:a+c>b+c.充要充分不必要充要 归纳小结：判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法(1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假.(2)集合法：即利用集合的包含关系判断.(3)等价法：即利用p⇔q与q⇔p的等价关系，一般地，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法.(4)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒… ⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性. 1.方程ax2+bx+c=0（a≠0）有实数根是ac＜0的__________条件.四、学生练习解析：若ac＜0成立，则△=b2-4ac＞0，∴方程有实根；但当方程ax2+bx+c=0有实根时，如当a=1，b=-3，c=2时，x2-3x+2=0有实根，但ac＜0不成立．故“方程有实根”是“ac＜0”的必要不充分条件．答案：必要不充分.必要不充分 2.  解：当x＞2且y＞2时，有x+y＞4，xy＞4，反之不一定成立，如x=1，y=5时，有x+y=6＞4，xy=5＞4，所以是的必要不充分条件. 必要不充分 3.已知实系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），试证明“b2-4ac=0”是“方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根”的充要条件． 证明：将方程ax2+bx+c=0（a≠0），进行配方得：，即 ，若b2-4ac=0，则 ，则方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根 ．若方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根，则 ，即b2-4ac=0，所以“b2-4ac=0”是“方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根”的充要条件．  4.已知条件p：A={x|x2-(a+1)x+a≤0}，条件q：B={x|x2-3x+2≤0}，当a为何值时，(1)p是q的充分不必要条件.(2)p是q的必要不充分条件.(3)p是q的充要条件. 解：关于命题， a＞1时：A=[1,a]，a≤1时：A=[a,1]，关于命题q： ； 所以B=[1,2].（1）p是q的充分不必要条件即AB，则1≤a＜2；（2）p是q的必要不充分条件即BA，则a＞2；（3）p是q的充要条件即A=B，则a=2．  五、归纳小结1.知识：充要条件的定义；充要条件的判断和证明方法2.思想：数形结合的思想、分类讨论的思想、转化思想 六、布置作业1.完成分层作业;2.教材P22练习1、2、3题. 谢 谢！