微专题3 二项分布与超几何分布的综合应用
1．建立模型袋子中有大小相同的N个球，其中有M个红球、N－M个白球，令p＝，设X表示摸出的n个球中红球的个数，则： 摸球方式X的分布E(X)D(X)放回摸球二项分布B(n，p)npnp(1－p)不放回摸球参数为N，n，M的超几何分布np
2．二项分布与超几何分布的联系与区别(1)由古典概型得出超几何分布，由n重伯努利试验得出二项分布，放回摸球是二项分布，不放回摸球是超几何分布．(2)对于同一个模型，两个分布的均值相同，但超几何分布的方差较小，说明超几何分布中随机变量的取值更集中于均值附近．
(3)对于不放回摸球，当N充分大，且n远远小于N时，各次抽样结果彼此影响很小，可近似认为是独立的．此时，超几何分布可以用二项分布近似．从方差的角度看，由于≈1，两个分布的方差也近似相等．(4)在确定分布列时，超几何分布必须同时知道N和M，而二项分布只需要知道p＝即可．
类型1 二项分布的综合应用01
【例1】 (2023·河南开封尉氏三中月考)在一次测试中，第22，23，24题为选做题，规定每名考生必须从中选做一题，设5名考生选做这三题中任意一题的可能性均为，每名考生对每题的选择是相互独立的，各考生的选择相互之间没有影响．(1)求其中甲、乙两人选做同一题的概率；
解] 设事件A1表示甲选做第22题，A2表示甲选做第23题，A3表示甲选做第24题，B1表示乙选做第22题，B2表示乙选做第23题，B3表示乙选做第24题，依题意知P(Ai)＝P(Bi)＝，i＝1，2，3，记甲、乙两人选做同一题为事件M，则M＝A1B1＋A2B2＋A3B3，易知A1与B1，A2与B2，A3与B3均相互独立，∴P(M)＝P(A1B1＋A2B2＋A3B3)＝P(A1)P(B1)＋P(A2)P(B2)＋P(A3)P(B3)＝×3＝．
(2)设选做第23题的人数为ξ，求ξ的分布列、数学期望及方差．[解] ξ的可能取值为0，1，2，3，4，5．∵5名考生选做这三题中任意一题的可能性均为，∴P(ξ＝k)＝＝·，k＝0，1，2，3，4，5，∴ξ的分布列为∴E(ξ)＝5×＝，D(ξ)＝5×＝． ξ012345P
反思领悟 (1)解题的关键是判定随机变量ξ服从二项分布，确定参数n和p的值．(2)根据二项分布的概率列出分布列．(3)利用定义或二项分布的性质求二项分布的均值和方差．
类型2 超几何分布的综合应用02
【例2】 某大学志愿者协会有10名同学，成员构成如表所示．表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取1名同学，该名同学的专业为数学的概率为． 性别中文英语数学体育男n1m1女1111现从这10名同学中随机选取3名同学参加社会公益活动(每名同学被选到的可能
2023-2024学年湘教版高中数学必修第二册 微专题二项分布与超几何分布的综合应用 课件
