新课程标准解读核心素养1．借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件数学抽象、直观想象2．能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值数学运算3．体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系逻辑推理
目录CONTENTS01读教材·知识梳理03拓视野·思维进阶02研题型·典例精析扣课标·素养提升04
“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，说的是庐山的高低起伏，错落有致．在群山之中，各个山峰的顶端，虽然不一定是群山的最高处，但它却是其附近的最高点，同样，各个谷底虽然不一定是群山之中的最低处，它却是其附近的最低点．
知识点一 函数极值的定义1．极大值与极小值设函数y＝f(x)的定义域为D，设x0∈D，如果对于x0附近的任意不同于x0的x，都有(1)f(x)____f(x0)，则称x0为函数f(x)的一个极大值点，且f(x)在x0处取极大值；(2)f(x)____f(x0)，则称x0为函数f(x)的一个极小值点，且f(x)在x0处取极小值．2．极值点与极值极大值点与极小值点都称为极值点，极大值与极小值都称为极值．显然，极大值点在其附近函数值最大，极小值点在其附近函数值最小．<>
1．函数的极大值一定大于极小值吗？提示：不一定，如图中c处的极小值大于f处的极大值．2．函数y＝f(x)在给定区间(a，b)内一定有极值点吗？提示：不一定，若函数y＝f(x)在区间(a，b)内是单调函数，就没有极值点．
知识点二 函数的极值与导数的关系1．如果x0是y＝f(x)的极值点，且f(x)在x0处可导，则必有f′(x0)＝ ．2．判断函数y＝f(x)的极值点的方法：设函数f(x)在x0处可导，且f′(x0)＝0.(1)如果对于x0左侧附近的任意x，都有f′(x)＞0，对于x0右侧附近的任意x，都有f′(x)＜0，那么此时x0是f(x)的 ；(2)如果对于x0左侧附近的任意x，都有f′(x)＜0，对于x0右侧附近的任意x，都有f′(x)＞0，那么此时x0是f(x)的 ；(3)如果f′(x)在x0的左侧附近与右侧附近均为 (或均为负号)，则x0一定不是y＝f(x)的极值点．0极大值点极小值点正号
1．导数为0的点都是极值点吗？提示：不一定，如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点．所以，当f′(x0)＝0时，要判断x＝x0是否为f(x)的极值点，还要看f′(x)在x0两侧的符号是否相反．2．若f′(x0)存在，则“f′(x0)＝0”是“x0是y＝f(x)的极值点”的什么条件？提示：必要不充分条件．
1．(多选)下列函数在x＝0处取得极小值的是 ( )A．y＝sin x B．y＝x2＋1 C．y＝|x| D．y＝2x解析：利用函数图象和极小值的定义可知，选项B、C中的函数在x＝0处取得极小值．2．函数y＝x3－3x2－9x(－2<x<2)有 ( )A．极大值5，极小值－27 B．极大值5，极小值－11C．极大值5，无极小值 D．极小值－27，无极大值解析：由y′＝3x2－6x－9＝0，得x＝－1或x＝3.当x<－1或x>3时，y′>0；当－1<x<3时，y′<0.所以当x＝－1时，函数有极大值5；3∉(－2，2)，故无极小值．BCC
3．设f(x)＝xex＋1，则f(x)的极小值点为________．解析：∵f(x)＝xex＋1的定义域为R，∴f′(x)＝(x＋1)ex，令f′(x)＞0，可得x＞－1；f′(x)＜0可得x＜－1，∴f(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，故x＝－1为f(x)极小值点．
题型一 求函数的极值角度一 求不含参数的函数的极值【例1】 (链接教科书例2)求函数f(x)＝x2e－x的极值．解 函数的定义域为R，f′(x)＝2xe－x＋x2·e－x·(－x)′＝2xe－x－x2·e－x＝x(2－x)e－x.令f′(x)＝0，得x(2－x)·e－x＝0，解得x＝0或x＝2.
|通性通法|求函数y＝f(x)的极值的步骤(1)求出函数的定义域及导数f′(x)；(2)解方程f′(x)＝0，得方程的根x0(可能不止一个)；(3)用方程f′(x)＝0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，可将x，f′(x)，f(x)在每个区间内的变化情况列在同一个表格中；(4)由f′(x)在各个开区间内的符号，判断f(x)在f′(x)＝0的各个根处的极值情况：如果左正右负，那么函数f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么函数f(x)在这个根处取得极小值；如果导数值在这个根左右两侧同号，那么这个根不是极值点．
已知函数f(x)＝x－a ln x(a∈R)，求函数f(x)的极值．①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a，又当x∈(0，a)时，f′(x)<0，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，∴函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－a ln a，无极大值．综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－a ln a，无极大值．
题型二 已知函数的极值求参数【例3】 已知f(x)＝ax5－bx3＋c在x＝±1处的极大值为4，极小值为0，试确定a，b，c的值．解 f′(x)＝5ax4－3bx2＝x2(5ax2－3b).由题意，f′(x)＝0应有根x＝±1，故5a＝3b，于是f′(x)＝5ax2(x2－1)，
又5a＝3b，解得a＝3，b＝5，c＝2.②当a＜0时，
2023-2024学年人教B版高中数学选择性必修第三册 6.2.2 第一课时 函数的导数与极值 课件
