2023-2024学年高中数学北师大版选择性必修第二册 第二章导数及其应用3导数的计算 课件

第2章§3　导数的计算 基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升成果验收·课堂达标检测目录索引 课标要求1.能根据定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=x3,y= ,y= 的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数. 基础落实·必备知识全过关 知识点1　函数f(x)在x=x0处的导数求解步骤(1)通过自变量在x=x0处的改变量Δx,确定函数值在x0处的改变量Δy=f(x0+Δx)-f(x0).(2)确定函数y=f(x)从x0到x0+Δx处的平均变化率(3)当Δx趋于0时,得到导数名师点睛函数y=f(x)在点x0处的导数即函数y=f(x)在点x0处的瞬时变化率. 过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)f'(x0)即函数y=f(x)在点x0处的瞬时变化率.(　　)(2)若函数f(x)=x,则f'(1)=f'(2).(　　)2.导数或瞬时变化率可以反映函数变化的什么特征?√ √ 提示 导数或瞬时变化率可以反映函数在某一点处变化的快慢程度. 知识点2　导函数一般地,如果一个函数y=f(x)在区间(a,b)的每一点x处都有导数 ,那么称f'(x)为y=f(x)的导函数,也简称为导数,有时也将导数记作y'. 　f'(x)的值与Δx无关,同时又是关于x的函数 过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)若y=f(x)=x,则f'(x)=1.(　　)(2)若y=f(x)=x2,则f'(x)=2x.(　　)(3)已知f'(x)=2x,则f'(3)=6.(　　)2.你会区分“函数f(x)在点x0处的导数”与“导函数”吗?√ √ √ 提示 “函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值,“导函数”是一个函数,二者有本质的区别,但又有密切关系,f'(x0)是导函数y=f'(x)在x=x0处的一个函数值. 知识点3　基本初等函数的导数公式表 函数导数y=c(c是常数)y'=　 y=xα(α是实数)y'=　　 y=ax(a>0,a≠1)y'=　　　 特别地(ex)'=exy=logax(a>0,a≠1)y'=　　　　 特别地(ln x)'=0 αxα-1 axln a 函数导数y=sin xy'=　　 y=cos xy'=　　 y=tan xy'=　　　 cos x -sin x 过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)若y=sin 60°,则y'=cos 60°.(　　)(2)若f'(x)=sin x,则f(x)=cos x.(　　)××√ D 重难探究·能力素养全提升 探究点一　求函数在某一点处的导数【例1】 (1)设函数y=f(x)在x=x0处可导,且 ,则f'(x0)=　　　　. a　 (2)利用导数的定义求函数y=f(x)=x3在x=1处的导数. 规律方法　用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤 变式训练1已知f(x)=3x2,f'(x0)=6,求x0. 探究点二　利用导数公式求函数的导数【例2】 求下列函数的导数:解 (1)y'=0. 规律方法　1.若给出的函数解析式符合导数公式,则直接利用公式求导.2.若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式,则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导,如根式要化成指数幂的形式求导,y= 可以写成y=x-4,y= 等,这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导,避免在求导过程中出现指数或系数的运算失误.3.要特别注意“ 与ln x”“ax与logax”“sin x与cos x”的导数区别. 变式训练2求下列函数的导数.解 (1)y'=(x12)'=12x11. 探究点三　利用导数公式解决切线问题【例3】 已知P,Q为抛物线f(x)= x2上两点,点P,Q的横坐标分别为4,-2,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的坐标为　　　　. (1,-4) 解析 由抛物线方程,得f'(x)=x,∴kPA=4,kQA=-2.∵P(4,8),Q(-2,2),∴直线PA的方程为y-8=4(x-4),即y=4x-8.直线QA的方程为y-2=-2(x+2),即y=-2x-2.∴A(1,-4). 规律方法　解决切线问题,关键是确定切点,要充分利用以下三个条件联立方程解决:(1)切点处的导数是切线的斜率.(2)切点在切线上.(3)切点在曲线上. 变式训练3已知直线y=kx是曲线y=ln x的一条切线,则k=　　　　.  本节要点归纳1.知识清单:(1)求函数在某一点处的导数.(2)利用导数公式求函数的导数.(3)利用导数公式解决切线问题.2.方法归纳:公式变形及数学运算.3.常见误区:未将函数解析式恒等变换而乱用导数公式. 成果验收·课堂达标检测 123456B 1234562.下列求导运算正确的个数为(　　)A.1 B.2 C.3 D.0B解析 ①中(3x)'=3xln 3,②③均正确. 123456B 1234564.已知f(x)=x2,g(x)=x3,则满足f'(x0)+2=g'(x0)的正数x0的值为　　　　　.  123456 1234566.求下列函数的导数. 解 (1)y'=0. (3)y'=5xln 5.