1．通过分析实际问题，理解导数的实际意义，掌握导数的几何意义，能够利用导数讨论函数的单调性、极值和最值问题，培养学生综合应用知识的能力．(逻辑推理、数学运算)2．通过导数证明不等式以及求参数或取值范围等综合问题．(逻辑推理、数学运算)3．能够利用导数判断函数零点的个数，由函数零点个数求参数．(直观想象、数学运算)4．通过实际例子，体会导数在解决最优问题中的应用，培养学生解决实际问题的能力．(数学建模、数学运算)
关键能力•攻重难
给定函数f(x)＝ex－x.(1)判断函数f(x)的单调性，并求出f(x)的值域；(2)画出函数f(x)的大致图象；(3)求出方程f(x)＝m(m∈R)在区间[－1,2]上的根的个数．题型探究题型一利用导数研究函数的零点个数典例 1
[解析] (1)函数f(x)的定义域为R，f ′(x)＝ex－1，令f ′(x)＝0，解得x＝0.当x变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表所示：x(－∞，0)0(0，＋∞)f ′(x)－0＋f(x)1所以f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增．当x＝0时，f(x)的极小值f(0)＝1，也是最小值，故函数f(x)的值域为[1，＋∞)．
[规律方法] 利用导数研究函数的零点，可利用导数判断函数的单调性，借助函数零点存在定理判断；另外，也可将函数的零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决．
对点训练❶
题型二利用导数证明不等式典例 2
[规律方法] 构造函数法证明不等式一般地，待证不等式的两边都含有同一个变量，可通过构造函数，转化为函数的最值问题来证明，其一般步骤如下：1．移项，使不等式的一边为0，将另一边构造为“左减右”或“右减左”的函数．2．利用导函数研究所构造的函数的单调性．3．借助构造函数的单调性可证结论成立．
对点训练❷
题型三实际生活中的优化问题 有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元与5a元．问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省．[分析] 适当选定变元，构造相应的函数关系，通过求导的方法或其他方法求出函数的最小值．可确定点C的位置．典例 3
在(0,50)上，y只有一个极值点，根据实际问题的意义，函数在x＝30(km)处取得最小值，此时AC＝50－x＝20 km.∴供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省．
[规律方法] 用导数解最值应用题，一般应分为五个步骤：①建立函数关系式y＝f(x)；②求y′；③令y′＝0，求出相应的x0；④指出x＝x0处是最值点的理由；⑤对题目所问作出回答．求实际问题中的最值问题时，可以根据实际意义确定取得最值时变量的取值．
对点训练❸(1)求y关于x的函数解析式，并指出该函数的定义域；(2)试问：x为何值时，广告位出租的总收入最大？并求出其最大值．
题型四几何中的最值问题 请你设计一个包装盒．如图1所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去白色部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图2中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E，F两点在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x cm.典例 4
(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
[规律方法] 解决面积、体积的最值问题，要正确引入变量，将面积或体积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值．
在半径为R的半圆内，以直径为一底边作一个内接等腰梯形，如何使其面积最大？最大面积是多少？[解析] 方法一：设上底长为2x，如图所示：对点训练❹
易错警示利用参变分离时忽视自变量的取值范围 设函数f(x)＝ax3－3x＋1，若对任意的x∈[－1,1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为_____.典例 54
[误区警示] 本题上述解法中有两处错误．(1)是在参数分离的过程中，要在不等式两边同时除以x3才能实现参数的分离，若x的取值范围在正数区间上，可以避免讨论；若x的取值范围中包含零或负数，则需要进行分类讨论．(2)是换元后未求新元t的范围，t的范围不再是[－1,1]．
课堂检测•固双基
C
D
C
2023-2024学年湘教版高中数学选择性必修第二册利用导数解决与函数有关的问题课件
