2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第一册 1.1空间向量及其运算1.1.1空间向量及其线性运算 学案

1.1　空间向量及其运算 1.1.1　空间向量及其线性运算 1．理解空间向量及相关概念．(重点) 2．掌握空间向量的线性运算．(重点) 3．掌握向量共线的充要条件、三个向量共面的充要条件及应用．(重点、难点) 1．通过空间向量有关概念的学习，培养数学抽象素养． 2．借助向量的线性运算、共线向量及共面向量的学习，提升直观想象和逻辑推理素养． 回忆平面向量的有关概念与约定，思考能否将它们从平面推广到空间中，如果能，尝试说出推广后的不同之处，如果不能，请说明理由． 知识点1　空间向量及相关概念 (1)空间向量的定义及表示 定义 在空间，把具有 大小 和 方向 的量叫做空间向量 长度或模 空间向量的 大小 叫做空间向量的长度或模 表示方法 几何表示 空间向量也用有向线段表示，有向线段的 长度 表示空间向量的模 符号表示 空间向量常用一个小写字母表示．如：向量 a ， b ， c… ，其模分别记为| a |，| b |，| c |… 空间向量也可以用有向线段表示．如图所示，向量 a 也可记作 ，其模记为| a |或| | (2)几类常见的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做 零向量 ，记为 0 单位向量 模为1 的向量叫做单位向量 相反向量 与向量 a 长度 相等 而方向 相反 的向量，叫做 a 的相反向量，记为－ a 相等向量 方向 相同 且模 相等 的向量叫做相等向量， 同向 且 等长 的有向线段表示同一向量或相等向量 共线向量或平行向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线 互相平行或重合 ，则这些向量叫做 共线向量 或平行向量 1．若两个空间向量相等，则它们的方向相同，且模相等，那么它们的起点、终点也相同吗？ [提示]　起点、终点未必相同． 单位向量、零向量都只规定了向量的模而没有规定方向．需注意单位向量有无数个，它们的方向并不确定，因此，它们不一定相等；零向量也有无数个，它们的方向是任意的，但规定所有的零向量都相等． 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量 与向量 的长度相等． (　　) (2)零向量没有方向． (　　) [提示]　(1)√　对于任意向量 和 ，都有| |＝| |成立． (2)×　零向量有方向，它的方向是任意的． 知识点2　空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 a ＋ b ＝ ＋ ＝ 减法 a － b ＝ － ＝ 数乘 当 λ >0时， λ a ＝ λ ＝ ； 当 λ <0时， λ a ＝ λ ＝ ； 当 λ ＝0时， λ a ＝ 0 运算律 交换律： a ＋ b ＝ b ＋ a ； 结合律： a ＋( b ＋ c )＝( a ＋ b )＋ c ， λ ( μ a )＝( λμ ) a ； 分配律：( λ ＋ μ ) a ＝ λ a ＋ μ a ， λ ( a ＋ b )＝ λ a ＋ λ b 2．由 λ a ＝ 0 ，可否得出 λ ＝0? [提示]　不能． λ a ＝ 0 ⇔ λ ＝0或 a ＝ 0 ． 2．(1)已知空间四边形 ABCD 中， ＝ a ， ＝ b ， ＝ c ，则 等于(　　) A． a ＋ b － c 　　 B． c － a － b C． c ＋ a － b D． c ＋ a ＋ b (2)化简 ＋ － ＝________． (1) B 　(2) 0 　[(1) ＝ ＋ ＋ ＝－ b － a ＋ c ＝ c － a － b ，故选B． (2) ＋ － ＝ ＋ ＝ 0 ．] 知识点3　共线向量 (1)向量共线的充要条件：对于任意两个空间向量 a ， b ( b ≠ 0 )， a ∥ b 的充要条件是存在实数 λ ，使 a ＝ λ b ． (2)方向向量：在直线 l 上取非零向量 a ，与向量 a 平行 的非零向量称为直线 l 的方向向量． 3．怎样利用向量共线的充要条件证明空间 A ， B ， C 三点共线？ [提示]　只需证明向量 ， (不唯一)共线即可． 向量共线的充要条件可以作为判定线线平行的依据．但必须注意在向量 a (或 b )所在直线上至少有一点不在 b (或 a )所在的直线上． 3．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若 a ∥ b ， b ∥ c ，则 a ∥ c ． (　　) (2)若 a ∥ b ，则存在唯一的实数 λ ，使得 a ＝ λ b ． (　　) (3)若 ＝ ，则 A ， B ， C 三点共线． (　　) [提示]　(1)×　当 b ＝ 0 时， a ∥ c 不一定成立． (2)×　当 a 是非零向量， b ＝ 0 时，不存在实数 λ ，使得 a ＝ λ b ． (3)√　由 ＝ 知 ∥ ，且有公共点 B ，此时 A ， B ， C 三点共线． 知识点4　共面向量和三个向量共面的充要条件 (1)定义：平行于 同一个平面 的向量叫做共面向量． (2)三个向量共面的充要条件：如果两个向量 a ， b 不共线，则向量 p 与向量 a ， b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对( x ， y )，使 p ＝ x a ＋ y b ． 4．(1)空间中任意两个向量一定是共面向量吗？ (2)已知空间任意一点 O 和不共线的三点 A ， B ， C ，存在有序实数对( x ， y )，满足关系 ＝ ＋ x ＋ y ，则点 P 与点 A ， B ， C 是否共面？ (3)对于不共线的三点 A ， B ， C 和平面 ABC 外的一点 O ，空间一点 P 满足关系式 ＝ x ＋ y ＋ z ，则点 P 在平面 ABC 内的充要条件是什么？ [提示]　(1)空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面的两个向量，因此一定是共面向量． (2)共面．由 ＝ ＋ x ＋ y ，可得 ＝ x ＋ y ，所以向量 与向量 ， 共面，故点 P 与点 A ， B ， C 共面． (3) x ＋ y ＋ z ＝1． 证明如下：①充分性 ∵ ＝ x ＋