2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修第一册 2.5直线与圆圆与圆的位置关系2.5.1直线与圆的位置关系第2课时直线与圆的方程的应用 学案

第2课时　直线与圆的方程的应用 1．能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．(重点) 2．会用“数形结合”的数学思想解决问题．(难点) 通过直线与圆的位置关系的应用，提升直观想象、数学运算及逻辑推理素养． 有一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m．当水面下降1 m后，水面宽多少米？ 如何才能正确地解决上述问题？ 知识点　用坐标法解决平面几何问题的“三步曲” 第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，如点、直线、圆，把平面几何问题转化为代数问题． 第二步：通过代数运算，解决代数问题． 第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论． 一涵洞的横截面是半径为5 m的半圆，则该半圆的方程是(　　) A． x 2 ＋ y 2 ＝25 B． x 2 ＋ y 2 ＝25( y ≥0) C．( x ＋5) 2 ＋ y 2 ＝25( y ≤0) D．随建立直角坐标系的变化而变化 D 　[没有建立平面直角坐标系，因此圆的方程无法确定，故选D．] 类型1　圆的方程的实际应用 【例1】　(对接教材P 93 例题)某圆拱桥的水面跨度为20 m，拱高为4 m．现有一船，宽10 m，水面以上高3 m，这条船能否从桥下通过？ [解]　建立如图所示的坐标系，使圆心 C 在 y 轴上．依题意，有 A (－10,0)， B (10,0)， P (0,4)， D (－5,0)， E (5,0)． 设这座圆拱桥的拱圆的方程是 x 2 ＋( y － b ) 2 ＝ r 2 ( r >0)， 则有 解得 所以这座圆拱桥的拱圆的方程是 x 2 ＋( y ＋10.5) 2 ＝14.5 2 (0≤ y ≤4)． 把点 D 的横坐标 x ＝－5代入上式，得 y ≈3.1． 由于船在水面以上高3 m,3<3.1， 所以该船可以从桥下通过． 建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，通过代数运算，解决几何问题． 1．一辆货车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形单行隧道，则这辆货车的平顶车篷的篷顶距离地面高度最高约为(　　) A．2.4米 B．3.5米 C．3.6米 D．2.0米 B 　[以半圆直径所在直线为 x 轴，过圆心且与 x 轴垂直的直线为 y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 易知半圆所在的圆的方程为 x 2 ＋ y 2 ＝3.6 2 ( y ≥0)， 由图可知，当货车恰好在隧道中间行走时车篷最高， 此时 x ＝0.8或 x ＝－0.8，代入 x 2 ＋ y 2 ＝3.6 2 ， 得 y ≈3.5(负值舍去)．] 类型2　直线与圆的方程的实际应用 【例2】　如图，某海面上有 O ， A ， B 三个小岛(面积大小忽略不计)， A 岛在 O 岛的北偏东45°方向距 O 岛40 千米处， B 岛在 O 岛的正东方向距 O 岛20千米处．以 O 为坐标原点， O 的正东方向为 x 轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系．圆 C 经过 O ， A ， B 三点． (1)求圆 C 的方程； (2)若圆 C 区域内有未知暗礁，现有一船 D 在 O 岛的南偏西30°方向距 O 岛40千米处，正沿着北偏东45°方向行驶，若不改变方向，该船有没有触礁的危险？ [解]　(1)由题意，得 A (40,40)， B (20,0)，设过 O ， A ， B 三点的圆 C 的方程为 x 2 ＋ y 2 ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0， 则 解得 ∴圆 C 的方程为 x 2 ＋ y 2 －20 x －60 y ＝0． (2)该船初始位置为点 D ， 则 D (－20，－20 )， 且该船航线所在直线 l 的斜率为1， 故该船航行方向为直线 l ： x － y ＋20－20 ＝0， 由(1)得圆 C 的圆心为 C (10,30)，半径 r ＝10 ， 由于圆心 C 到直线 l 的距离 d ＝ ＝10 ＜10 ，故该船有触礁的危险． 试总结应用直线与圆的方程解决实际问题的步骤． [提示]　(1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知； (2)建系：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素； (3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知； (4)还原：将运算结果还原到实际问题中去． 2．台风中心从 A 地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市 B 在 A 地正东40 km处，则城市 B 处于危险区内的时间为________小时． 1　[如图，以 A 地为原点， AB 所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系，则以 B (40,0)为圆心，30为半径的圆内 MN 之间(含端点)为危险区，取 MN 的中点 E ，连接 BE ， BN ， BM ，则 BE ⊥ MN ， BN ＝ BM ，△ ABE 为等腰直角三角形，因为 AB ＝40，所以 BE ＝20 km，在Rt△ BEN 中， NE ＝ ＝10，则| MN |＝20，所以时间为1 h．] 类型3　与圆有关的最值问题 【例3】　已知点 P ( x ， y )在圆 C ： x 2 ＋ y 2 －6 x －6 y ＋14＝0上． (1)求 的最大值和最小值； (2)求 x 2 ＋ y 2 ＋2 x ＋3的最大值与最小值； (3)求 x ＋ y 的最大值与最小值． 式子 ，  x － a  2 ＋  y － b  2 ， t ＝ ax ＋ by 各有什么几何意义？根据几何意义，能否求各式的最值？ [解]　方程 x 2 ＋ y 2 －6 x －6 y ＋14＝0可化为( x －3) 2 ＋( y －3) 2 ＝4． (1) 表示圆上的点 P 与原点连线的斜率，如图(1)，显然 PO ( O 为坐标原点)与圆相切时，斜率最大或最小．设切线方程为 y ＝ kx (由题意知，斜率一定存在)，即 kx － y ＝0，由圆心 C (3,3)到切线的距离等于半径长，可得 ＝2，解得 k ＝ ，所以 的最大