2023-2024学年人教A版高中数学必修第二册 6.4.3　第三课时　用余弦定理、正弦定理解三角形（学案）

6.4.3 　 第三课时 　 用余弦定理、正弦定理解三角形 题型一 有关三角形面积的计算 【例 1 】 　 （ 1 ）在 △ ABC 中，已知 a ＝ 5 ， b ＝ 7 ， B ＝ 120 ° ，则 △ ABC 的面积为 　 　　　　 ；   （ 2 ）在 △ ABC 中，内角 A ， B ， C 的对边分别是 a ， b ， c ，若 sin B ＝ 2sin A ，且 △ ABC 的面积为 a 2 sin B ，则 cos B ＝ 　 　　　　 .   解析 　 （ 1 ）由余弦定理，得 b 2 ＝ a 2 ＋ c 2 － 2 ac cos B ，即 c 2 ＋ 5 c － 24 ＝ 0 ，解得 c ＝ 3 或 c ＝ － 8 （舍去） . 所以 S △ ABC ＝ ac sin B ＝ × 5 × 3sin 120 ° ＝ . （ 2 ）由 sin B ＝ 2sin A ，得 b ＝ 2 a ，由 △ ABC 的面积为 a 2 sin B ，得 ac sin B ＝ a 2 sin B ，由 sin B ≠ 0 ，知 c ＝ 2 a ，所以 cos B ＝ ＝ ＝ . 答案 　 （ 1 ） 　 （ 2 ） 通性通法 求三角形面积的解题思路 　　 在应用三角形面积公式 S ＝ ab sin C ＝ bc sin A ＝ ac sin B 求解时，一般是已知哪个角就使用哪一个公式 . 1. 在 △ ABC 中，已知 a ＝ 1 ， c ＝ 2 且 △ ABC 的面积为 ，则 B ＝ （ 　　 ） A.30 ° B.60 ° C.30 ° 或 150 ° D.60 ° 或 120 ° 解析： D 　 由面积公式 S △ ABC ＝ ac sin B ＝ × 1 × 2 × sin B ＝ ，解得 sin B ＝ ，所以 B ＝ 60 ° 或 120 ° . 故选 D. 2. 在 △ ABC 中， a ， b ， c 分别是角 A ， B ， C 的对边，若 a ＝ 2 ， b ＝ 3 ， sin A ＝ 2sin B cos C ，则 △ ABC 的面积为 　 　　　　 .   解析： 依题意 sin A ＝ 2sin B cos C ，由正弦定理得 a ＝ 2 b cos C ， 2 ＝ 2 × 3 × cos C ， cos C ＝ ＞ 0 ，所以 0 ＜ C ＜ ，所以 sin C ＝ ＝ ，所以 △ ABC 的面积为 ab sin C ＝ × 2 × 3 × ＝ 2 . 答案： 2 题型二 求解平面几何问题 【例 2 】 　 如图所示，在平面四边形 ABCD 中， AB ＝ ， BC ＝ ， AB ⊥ AD ， AC ⊥ CD . （ 1 ）若 sin ∠ BAC ＝ ，求 sin ∠ BCA ； （ 2 ）若 AD ＝ 3 AC ，求 AC . 解 　 （ 1 ）在 △ ABC 中，由正弦定理得 ＝ ，即 ＝ ，解得 sin ∠ BCA ＝ . （ 2 ）设 AC ＝ x ，则 AD ＝ 3 x ，在 Rt△ ACD 中， CD ＝ ＝ 2 x ， sin ∠ CAD ＝ ＝ . 在 △ ABC 中，由余弦定理的推论得 cos ∠ BAC ＝ ＝ . 又 ∠ BAC ＋ ∠ CAD ＝ ， 所以 cos ∠ BAC ＝ sin ∠ CAD ，即 ＝ ， 整理得 3 x 2 － 8 x － 3 ＝ 0 ，解得 x ＝ 3 或 x ＝ － （舍去），即 AC ＝ 3. 通性通法 　　 正、余弦定理本身是研究几何图形计算的工具，因此在面对几何图形时，关键是寻找相应的三角形，并在三角形中运用正、余弦定理，特别是涉及公共边时，要利用公共边来进行过渡，即利用公共边创造互补或互余关系列式，其本质是构建关于角的关系的方程 . 如图，在 △ ABC 中， B ＝ ， AB ＝ 8 ，点 D 在 BC 边上，且 CD ＝ 2 ， cos ∠ ADC ＝ . （ 1 ）求 sin ∠ BAD ； （ 2 ）求 的值 . 解： （ 1 ）在 △ ADC 中，因为 cos ∠ ADC ＝ ，所以 sin ∠ ADC ＝ ， 所以 sin ∠ BAD ＝ sin （ ∠ ADC － B ） ＝ sin ∠ ADC cos B － cos ∠ ADC sin B ＝ × － × ＝ . （ 2 ）在 △ ABD 中，由正弦定理得 BD ＝ ＝ ＝ 3. 在 △ ABC 中，由余弦定理得 AC 2 ＝ AB 2 ＋ BC 2 － 2 AB·BC· cos B ＝ 8 2 ＋ 5 2 － 2 × 8 × 5 × ＝ 49 ， 所以 AC ＝ 7 ，所以 ＝ . 题型三 正、余弦定理的综合问题 【例 3 】 　 设 △ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且 b sin A ＝ a cos B . （ 1 ）求 B 的大小； （ 2 ）若 b ＝ 3 ， sin C ＝ 2sin A ，求 a ， c 的值 . 解 　 （ 1 ） ∵ b sin A ＝ a cos B ， ∴ 由正弦定理，得 sin B sin A ＝ sin A cos B . 在 △ ABC 中， sin A ≠ 0 ， 即得 tan B ＝ ， ∴ B ＝ . （ 2 ） ∵ sin C ＝ 2sin A ， ∴ 由正弦定理，得 c ＝ 2 a ， 由余弦定理 b 2 ＝ a 2 ＋ c 2 － 2 ac cos B ， 即 9 ＝ a 2 ＋ 4 a 2 － 2 a· 2 a cos ， 解得 a ＝ ， ∴ c ＝ 2 a ＝ 2 . 通性通法 利用正、余弦定理解三角形的注意点 　　 正、余弦定理都是用来解三角形的，但在解题过程中要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，应抓住两个定理的特点：正弦定理 “ 边对角 ” ，余弦定理 “ 边夹角 ” ，正确选择定理是解决此类题目的关键 . 　 △ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ， a sin A ＋ c sin C － a sin C ＝ b sin B . （ 1 ）求 B 的大小； （ 2 ）若 A ＝ 75 ° ， b ＝ 2 ，求 a ， c 的值 . 解： （ 1 ）由正弦定理，得 a 2 ＋ c 2 － ac ＝ b 2 . 由余弦定理，得 b 2 ＝ a 2 ＋ c 2 － 2 ac cos B . 故 cos B ＝ ，又 0 ° ＜ B ＜ 180 ° ，因此 B ＝ 45 ° . （ 2 ） sin A ＝ sin （ 30 ° ＋ 45 ° ） ＝ sin 30 ° cos 45 ° ＋ cos 30 ° sin 45 ° ＝ . 故由正弦定理，得 a ＝ b· ＝ 1 ＋ . 由已知得， C ＝ 180 ° － 45 ° － 75 ° ＝ 60 ° ， 故 c ＝ b· ＝ 2 × ＝ . 1.△ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别