3.2 基本不等式第1课时 基本不等式
学习目标 胸中有蓝图1.掌握基本不等式≥(a≥0,b≥0).(数学抽象)2.结合具体实例,能用基本不等式解决简单的最大值和最小值问题.(逻辑推理、数学运算)
一、基本不等式1.算术平均值与几何平均值a≥0,b≥0,则称为a,b的算术平均值,称为a,b的几何平均值.2.基本不等式(均值不等式)a≥0,b≥0,则(当且仅当a=b时,等号成立).3.基本不等式的本质两个非负实数的算术平均值____________它们的几何平均值. 教材认知·内化必备知识 ≥ 大于或等于
【批注】1.基本不等式中的a,b既可以是具体的某个数,也可以是代数式;2.基本不等式中“≥0”不能省略,比如a=-3,b=-4,基本不等式不成立;3.基本不等式的常见变形:(1)若a≥0,b≥0,则a+b≥2;(2)若a≥0,b≥0,则ab≤.
[诊断]正确的打“√”,错误的打“×”.(1)对任意a,b∈R,a2+b2≥2ab,a+b≥2均成立. ( )提示:任意a,b∈R,有a2+b2≥2ab成立;当a,b都为非负数时,不等式a+b≥2成立.(2)若a≠0,则a+≥2=2. ( )提示:只有当a>0时,根据基本不等式,才有不等式a+≥2=2成立.(3)若a>0,b>0,则ab≤. ( )提示:因为a>0,b>0,≤,所以ab≤. ××√
二、用基本不等式求最值的结论已知x,y均为正数,(1)若x+y=s(s为定值),则当且仅当x=y时,xy取得最____值;(2)若xy=p(p为定值),则当且仅当x=y时,x+y取得最____值_____.(3)应用:求和式的最小值,乘积式的最大值. 大 小2
【批注】在应用基本不等式求最值时,要把握不等式成立的三个条件:一正、二定、三相等.(1)一正:各项必须为正数.(2)二定:和或积为定值.(3)三相等:满足等号成立的条件.
[诊断]1.不等式(x-2y)+≥2成立的前提条件为 ( )A.x≥2yB.x>2y C.x≤2yD.x<2y【解析】选B.因为不等式成立的前提条件是各项均为正,所以x-2y>0,即x>2y.2.(教材P27例4改角度)不等式m2+1≥2m中等号成立的条件是 ( )A.m=1 B.m=±1C.m=-1 D.m=0【解析】选A.若不等式m2+1≥2m,由基本不等式等号成立的条件知m2=1,即m=1(m=-1舍去).
类型一 利用基本不等式比较大小(数学运算)1.(多选题)下列命题正确的是 ( )A.若a≠0,则a2+≥4B.若a<0,则a+≥-4C.若a<0,b<0,则+≥2D.若a∈R,b∈R,则a+b≥2 合作探究·形成关键能力
【解析】选AC.对于A选项,由于a≠0,a2+≥2=4,当且仅当a=±时取等号,因此正确;对于B选项,a<0时,a+=-(-a+)≤-4,故错误;对于C选项,a<0,b<0,则+≥2,当且仅当a=b时取等号,故正确;对于D选项,若a<0,b<0时,不等式不成立,故错误.
2.若0<a<1,0<b<1,a≠b,则a+b,2,2ab,a2+b2中最大的一个是 . 【解析】因为0<a<1,0<b<1,a≠b,所以a+b>2,a2+b2>2ab,所以四个数中最大的应从a+b,a2+b2中选择.而a2+b2-(a+b)=a(a-1)+b(b-1),又因为0<a<1,0<b<1,所以a(a-1)<0,b(b-1)<0,所以a2+b2-(a+b)<0,即a2+b2<a+b,所以a+b最大.答案:a+b
【总结升华】关于基本不等式比较大小(1)若给定的代数式中既有“和式”又有“积式”,这便是应用基本不等式的题眼,可考虑是否利用基本不等式解决.(2)在应用基本不等式时一定要注意是否满足条件,即a>0,b>0,同时注意能否取等号.
类型二 利用基本不等式求简单问题的最值【典例】已知x<0,求3x+的最大值.【解析】因为x<0,所以-x>0.则3x+=-≤-2=-12,当且仅当=-3x,即x=-2时,3x+取得最大值,为-12.
【总结升华】基本不等式的使用条件一正:a>0,b>0,即:所求最值的各项必须都是正值;二定:ab或a+b为定值,即:含变量的各项的和或积必须是常数;三相等:当且仅当a=b时取等号;即:等号能否取得.在应用基本不等式求最值时,要逐一验证三个条件是否成立.
【即学即练】设x>0,y>0,且xy=4,则+的最小值是( )A.1 B.2 C.-1 D.-2【解析】选A.因为x>0,y>0,且xy=4,所以>0,>0,+≥2=2=2×=1,当且仅当=,即x=y=2时取等号.
类型三 通过拼凑法利用基本不等式求最值(数学运算)【典例】(1)已知x>,则4x-2+的最小值为 . (2)已知x<,则4x-2+的最大值为 . 【解题思维】 观察(1)x与的大小关系;(2)4x-2+的最值.联想联想到基本不等式的应用条件:一正二定三相等转化将4x-2+转化为4x-5++3,其次要注意x<时,4x-5<0观察联想联想到基本不等式的应用条件:一正二定三相等转化
【解析】(1)因为x>,所以4x-5>0,故4x-2+=4x-5++3≥2+3=5,当且仅当4x-5=,即x=时取等号,故ymin=5.(2)因为x<,所以5-4x>0,令y=4x-2+,所以y=4x-2+=-+3≤-2+3=1,当且仅当5-4x=,即x=1时,上式等号成立,故当x=1时ymax=1.答案:(1)5 (2)1
【总结升华】利用基本不等式求最值的方法 利用基本不等式求最值,通过恒等变形及配凑,使“和”或“积”为定值,常用变形技巧如下:(1)拆——裂项拆项对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和,再根据分式中分母的情况对整式进行拆项,为应用基本不等式凑定积创造条件.(2)并——分组并项目的是分组后各组可以单独应用基本不等式,或分组后先对一组应用基本不等式,再在组与组之间应用基本不等式得出最值.
(3)配——配式、配系数有时为了挖掘出“积”或“和”为定值,常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法,使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值,或配以恰当的系数后,使积式中的各
2023-2024学年北师大版必修第一册 第一章 §3 3.2 第1课时 基本不等式(课件)
