[课标解读] 1.了解空间向量的基本定理及其意义.2.掌握空间向量的正交分解．
新知初探·课前预习题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
教材要点要点一 空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在有序实数组(x，y，z)，使得p＝____________. 其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 状元随笔 由于可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是．一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念． xa＋yb＋zc
要点二 单位正交基底空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}，对空间中的任意a，均可以分解成三个向量xi，yj，zk，使a＝xi＋yj＋zk，像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．
基础自测1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示.( )(2)若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量．( )(3)对于三个不共面向量a1，a2，a3，不存在实数组{λ1，λ2，λ3}使0＝λ1a1＋λ2a2＋λ3a3.( )(4)任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底．( )×√××
2．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，可以作为空间向量一个基底的是( )A．， 答案：C解析：由空间向量基本定理可知C正确．
3．已知{a，b，c}能构成空间的一个基底，则下面的各组向量中，不能构成空间基底的是( )A．a＋b，b，c B．a，a－b，cC．a－c，b－c，a－b D．a，b，a＋b＋c答案：C解析：由图形结合分析a－c，b－c，a－b，三个向量共面，不构成基底．
4．如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有( )A．a与b共线 B．a与b同向C．a与b反向 D．a与b共面答案：A解析：由定理可知只有不共线的两向量才可以做基底，向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线．
5．已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，若λe1＋μe2＋νe3＝0，则λ2＋μ2＋ν2＝________．0解析：∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底，∴e1，e2，e3为不共面向量．又∵λe1＋μe2＋νe3＝0，∴λ＝μ＝ν＝0，∴λ2＋μ2＋ν2＝0.
题型探究·课堂解透
题型 1 基底的判断例1 已知{i，j，k}是空间的一个基底，且＝i＋2j－k，＝－3i＋j＋2k，＝i＋j－k，试判断{}能否作为空间的一个基底．
解析：假设共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x，y，使得＝x＋y成立，i＋2j－k＝x(－3i＋j＋2k)＋y(i＋j－k)＝(－3x＋y)i＋(x＋y)j＋(2x－y)k.因为{i，j，k}是空间的一个基底，所以i，j，k不共面，所以此方程组无解．即不存在实数x，y，使得＝x＋y成立，所以{}能作为空间的一个基底．
方法归纳判断空间向量基底的方法
巩固训练1 (多选)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组，其中可以作为空间一个基底的向量组是( )A．{a，b，x} B．{x，y，z}C．{b，c，z} D．{x，y，a＋b＋c}答案：BCD
解析：如图所示，令a＝，b＝，c＝，则x＝，y＝，z＝，a＋b＋c＝．由于A，B1，C，D1四点不共面，可知向量x，y，z也不共面，同理b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面．故选BCD.
题型 2 用基底表示向量例2 如图，在三棱柱ABC-A′B′C′中，已知＝a，＝b，＝c，点M，N分别是BC′，B′C′的中点，试用基底{a，b，c}表示向量.
解析：＝＝)＝＝)＋＝＝(a＋b＋c)．＝＝)＝)＝a＋b＋c.
方法归纳用基底表示向量时，若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘的运算律；若没给定基底，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求．
巩固训练2 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，若＝a，＝＝c.用基底{a，b，c}表示向量. 解析：由题意可得＝＋＝＝)＝c＋(b－a)，故＝－a＋b＋c.
题型 3 空间向量基本定理的应用例3 如图，已知在直三棱柱ABC-A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点．(1)求证：CE⊥A′D；(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．
解析：(1)证明：设＝a，＝b，＝c，这三个向量不共面，则|a|＝|b|＝|c|且a·b＝b·c＝c·a＝0.所以＝b＋c，＝－c＋b－a.所以·＝－c2＋b2＝0，所以⊥，即CE⊥A′D.(2)因为＝－a＋c，所以||＝|a|，由(1)得||＝|a|，所以·＝(－a＋c)·＝c2＝|a|2，所以cos 〈〉＝＝.所以异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.
方法归纳应用空间向量基本定理解决问题的一般步骤
巩固训练3 如图，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1，E，F分别为C′D′，A′D′的中点．求证：EF∥AC.
证明：设＝i，＝j，＝k，则{i，j，k}构成空间的一个单位正交基底．所以＝＝i－j＝(i－j)，＝＝i－j.所以＝.所以EF∥AC.
易错辨析 对基底理解不清致误例4 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点．若＝＝b，＝c
2023-2024学年北师大版高中数学选择性必修第一册 空间向量基本定理(课件）
